2019届高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数ⅰ2.8函数与方程函数的应用学案文北师大版

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1、§2.8　函数与方程最新考纲考情考向分析结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.1．函数的零点(1)函数零点的定义函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在

2、性定理)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210知识拓展有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数

3、，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．(　×　)(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　×　)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　√　)(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)

4、　教材改编2．函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致区间是(　　)A．(1,2)B．(2,3)C.和(3,4)D．(4，＋∞)答案　B解析　∵f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3－>0且函数f(x)的图像连续不断，f(x)为增函数，∴f(x)的零点在区间(2,3)内．3．若函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.答案　2解析　由于ln21，所以f(3)>0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.4．函数f

5、(x)＝－x的零点个数为________．答案　1解析　作函数y1＝和y2＝x的图像如图所示，由图像知函数f(x)有1个零点．题组三　易错自纠5．已知函数f(x)＝x－(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋lnx的零点分别为x1，x2，x3，则(　　)A．x1

6、x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解．综上函数f(x)只有1个零点．7．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．答案　解析　∵函数f(x)的图像为直线，由题意可得f(－1)f(1)<0，∴(－3a＋1)·(1－a)<0，解得

7、＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln2>0，∴f(1)·f(2)<0，∵函数f(x)＝lnx＋x－2的图像是连续的，且为增函数，∴f(x)的零点所在的区间是(1,2)．2．若a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由

8、函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点．因此函数f(x)的两个零点