2018版高中数学 第二章 函数 2.3 映射学案 北师大版必修1

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1、2．3　映　射学习目标　1.了解映射、一一映射的概念及表示方法(重点)；2.了解像与原像的概念；3.了解映射与函数的区别与联系(重、难点)．预习教材P32－33完成下列问题：知识点一　映射的概念1．两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B．2．像与原像的概念在映射f：A→B中，A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：x→y．【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在从集合A到集合B的映射中，集合B中的某一个元素b的原像可能不止一个．(　　)(2)集合A中的某

2、一个元素a的像可能不止一个．(　　)(3)集合A中的两个不同元素所对应的像必不相同．(　　)(4)集合B中的两个不同元素的原像可能相同．(　　)提示　根据映射的概念可知：(1)中元素必有唯一确定的像，但在像集中一个像可以有不同的原像，故只有(1)正确．答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×知识点二　一一映射一一映射是一种特殊的映射，它满足：①A中每一个元素在B中都有唯一的像与之对应；②A中的不同元素的像也不同；③B中的每一个元素都有原像．【预习评价】1．设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{a，b，c}，那么从集合A到集合B的一一映射的个数为(　　)A．3B．6C．9D．18解析　A中有

3、3个元素，B中也有3个元素，按定义一一列举可知有6个．答案　B2．设f：x→ax－1为从集合A到B的映射，若f(2)＝3，则f(3)＝________．解析　由f(2)＝3，可知2a－1＝3，∴a＝2，∴f(3)＝3a－1＝3×2－1＝5．答案　5知识点三　函数与映射设A、B是两个非空数集，f是A到B的一个映射，那么映射f：A→B就叫作A到B的函数．即函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射．【预习评价】1．从集合A到集合B的映射f：A→B与从集合B到集合A的映射f：B→A是不是相同映射？提示　映射f：A→B与映射f：B→A不是相同映射．．2．映射一定是函数吗？函数一定是映射吗？提

4、示　当集合A，B为非空数集时，映射就是函数，否则不是，但函数都是映射．题型一　映射的概念【例1】　判断下列对应是不是映射？(1)A＝{x

5、0≤x≤3}，B＝{y

6、0≤y≤1}，f：y＝x，x∈A，y∈B；(2)A＝N，B＝N*，f：y＝

7、x－1

8、，x∈A，y∈B；(3)A＝{x

9、0

10、y≥1}，f：y＝，x∈A，y∈B；(4)A＝R，B＝{y

11、y∈R，y≥0}，f：y＝

12、x

13、，x∈A，y∈B．解　(1)是映射．(2)对于A中的元素1，在f作用下的像是0，而0∉B，故(2)不是映射．(3)是映射．(4)对于A中的元素1和－1，在f作用下的像都是1，所以f是映射．规律方法　映射

14、是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．【训练1】　下列对应是从集合M到集合N的映射的是(　　)①M＝N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N；②M＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈N；③M＝N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N；④M＝N＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N．A．①②B．②③C．①④D．②④解析　对于①，集合M中的元素0在N中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M中的元素0及负实数在N中没有元素与之对应

15、，所以③不是映射．对于②④，M中的元素在N中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D．答案　D题型二　求某一映射中的像或原像【例2】　设f：A→B是A到B的一个映射，其中A＝B＝{(x，y)

16、x，y∈R}，f：(x，y)→(x－y，x＋y)．(1)求A中元素(－1,2)的像；(2)求B中元素(－1,2)的原像．解　(1)A中元素(－1,2)在B中对应的元素为(－1－2，－1＋2)，即A中元素(－1,2)的像为(－3,1)．(2)设A中元素(x，y)与B中元素(－1,2)对应，则解得所以B中元素(－1,2)的原像为．规律方法　求某一映射中的像或原像，要准确地利用对应关系，恰当地列出方程或

17、方程组．【训练2】　设集合A、B都是坐标平面上的点集{(x，y)

18、x∈R，y∈R}，映射f：A→B使集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，x－y)，则在f作用下，像(2,1)的原像是(　　)A．(3,1)B．C.D．(1,3)解析　由得故选B．答案　B典例迁移　题型三　映射的个数问题【例3】　已知A＝{a，b，c}，B＝{－1,2}．则从A到B可以建立多少个不同的映射？解　从A到B可以建立8个