2018高考数学异构异模复习 第八章 立体几何 8.4 直线、平面垂直的判定与性质撬题 文

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1、2018高考数学异构异模复习考案第八章立体几何8.4直线、平面垂直的判定与性质撬题文1.若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定答案　D解析　由l1⊥l2，l2⊥l3可知l1与l3的位置不确定，若l1∥l3，则结合l3⊥l4，得l1⊥l4，所以排除选项B、C，若l1⊥l3，则结合l3⊥l4，知l1与l4可能不垂直，所以排除选项A.故选D.2．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称

2、之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，点E是PC的中点，连接DE，BD，BE.(1)证明：DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；(2)记阳马P－ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值．解　(1)证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC.由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD.DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE.又因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥

3、PC.而PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC.由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB.(2)由已知，PD是阳马P－ABCD的高，所以V1＝SABCD·PD＝BC·CD·PD；由(1)知，DE是鳖臑D－BCE的高，BC⊥CE，所以V2＝S△BCE·DE＝BC·CE·DE.在Rt△PDC中，因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE＝CE＝CD，于是＝＝＝4.3．如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC

4、且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V－ABC的体积．解　(1)证明：如图，因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB⊄平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝，所以AB＝2，OC＝1，所以S△VAB＝，又因为OC⊥平面VAB，所以VC－VAB＝OC·S△VAB＝.又

5、因为三棱锥V－ABC的体积与三棱锥C－VAB的体积相等，所以三棱锥V－ABC的体积为.4．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1－BCDE.(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1－BCDE的体积为36，求a的值．解　(1)证明：在题图1中，因为AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC.即在题图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥平面A1OC，又CD∥BE，所以CD

6、⊥平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)，A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，即A1O是四棱锥A1－BCDE的高．由题图1知，A1O＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2.从而四棱锥A1－BCDE的体积为V＝×S×A1O＝×a2×a＝a3，由a3＝36，得a＝6.5．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E－ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．解　(1)证明：因为四边形A

7、BCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝x.由已知得，三棱锥E－ACD的体积VE－ACD＝×AC·GD·BE＝x3＝，故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为.故三棱锥E－ACD的侧面积为3＋2.6．如