2018高考数学异构异模复习 第二章 函数的概念及其基本性质 2.4.1 二次函数撬题 理

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1、2018高考数学异构异模复习考案第二章函数的概念及其基本性质2.4.1二次函数撬题理1.如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为(　　)A．16B．18C．25D.答案　B解析　由已知得f′(x)＝(m－2)x＋n－8，又对任意的x∈，f′(x)≤0，所以，即，画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令mn＝t，则当n＝0时，t＝0，当n≠0时，m＝.由线性规划的相关知识知，只有当直线2m＋n＝12与曲线m＝相切时，t取得最大值．由，解得n＝6，t＝18，所以(mn)max＝18，选B.2．已知a，b，c

2、∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　)A．a>0,4a＋b＝0B．a<0,4a＋b＝0C．a>0,2a＋b＝0D．a<0,2a＋b＝0答案　A解析　由f(0)＝f(4)得f(x)＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，∴f(x)先减后增，∴a>0，选A.3．两个二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c与g(x)＝bx2＋ax＋c的图象可能是(　　)答案　D解析　函数f(x)图象的对称轴为x＝－，函数g(x)图象的对称轴为x＝－，显然－与－同号，故两个函数图象的对称轴应该在y轴的同侧，只有D满足．故选D.

3、4．若函数f(x)＝cos2x＋asinx在区间上是减函数，则a的取值范围是________．答案　(－∞，2]解析　f(x)＝cos2x＋asinx＝1－2sin2x＋asinx，令t＝sinx，x∈，则t∈，原函数化为y＝－2t2＋at＋1，由题意及复合函数单调性的判定可知y＝－2t2＋at＋1在上是减函数，结合抛物线图象可知，≤，所以a≤2.5.已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，则a的值为________．答案　2或－1解析　f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1，在x∈[0,1]时，当a≥1时，f(x)max＝f(1)＝a；当0

4、<1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1；当a≤0时，f(x)max＝f(0)＝1－a.根据已知条件得，或或解得a＝2或a＝－1.6．对于c>0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使

5、2a＋b

6、最大时，－＋的最小值为________．答案　－2解析　设2a＋b＝t，则2a＝t－b，由已知得关于b的方程(t－b)2－b(t－b)＋4b2－c＝0有解，即6b2－3tb＋t2－c＝0有解．故Δ＝9t2－24(t2－c)≥0，所以t2≤c，所以

7、t

8、max＝，此时c＝t2，b＝t，2a＝t－b＝，所以a＝.故－＋＝－＋＝8＝82－2≥－2.7．已知函数f(x)

9、＝

10、x2＋3x

11、，x∈R.若方程f(x)－a

12、x－1

13、＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．答案　(0,1)∪(9，＋∞)解析　在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y＝a

14、x－1

15、的图象，由图知，当a＝0时，两函数的图象只有2个交点，当a<0时，两图象没有交点，故必有a>0.若曲线y＝－x2－3x(－3≤x≤0)与直线y＝－a(x－1)(x≤1)相切，联立方程得x2＋(3－a)x＋a＝0，则由Δ＝0得a＝1(a＝9舍去)，因此当0

16、x－1

17、的图象有4个交点；若曲线y＝x2＋3x(x>0)与直线y＝a(x－1)(x>1

18、)相切，联立方程得x2＋(3－a)x＋a＝0，则由Δ＝0可得a＝9(a＝1舍去)，因此当a>9时，f(x)的图象与y＝a

19、x－1

20、的图象有4个交点，故当方程有4个互异实数根时，实数a的取值范围是(0,1)∪(9，＋∞)．