2018高考数学异构异模复习 第二章 函数的概念及其基本性质 2.8 函数与方程撬题 理

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1、2018高考数学异构异模复习考案第二章函数的概念及其基本性质2.8函数与方程撬题理1.已知函数f(x)＝函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R.若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是(　　)A.B.C.D.答案　D解析　函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，即方程f(x)－g(x)＝0，即b＝f(x)＋f(2－x)有4个不同的实数根，即直线y＝b与函数y＝f(x)＋f(2－x)的图象有4个不同的交点．又y＝f(x)＋f(2－x)＝作出该函数的图象如图所示，由图可得，当

2、＋f(2－x)的图象有4个不同的交点，故函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点时，b的取值范围是.2．函数f(x)＝的零点个数为(　　)A．3B．2C．7D．0答案　B解析　解法一：由f(x)＝0得或解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．解法二：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．3．设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间(　　)A．(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)答案　C解析　∵f(x)＝ex＋x－4，∴f′(x)＝ex＋1>0，∴函数f(x)在R上单调

3、递增．对于A项，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－1<0，f(0)＝－3<0，f(－1)f(0)>0，A不正确；同理可验证B、D不正确．对于C项，∵f(1)＝e＋1－4＝e－3<0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2>0，f(1)f(2)<0.故f(x)的零点位于区间(1,2)．4．设函数f(x)＝(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．答案　(1)－1　(2)∪[2，＋∞)解析　(1)若a＝1，则f(x)＝，作出函数f(x)的图象如图所示．由

4、图可得f(x)的最小值为－1.(2)当a≥1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21－a≤0，即a≥2，所以a≥2，当a<1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足，解得≤a<1.综上，实数a的取值范围为∪[2，＋∞)．5．函数f(x)＝4cos2cos－2sinx－

5、ln(x＋1)

6、的零点个数为________．答案　2解析　因为f(x)＝4cos2cos－2sinx－

7、ln(x＋1)

8、＝2(1＋cosx)·sinx－2sinx－

9、ln(x＋1)

10、＝sin2x－

11、ln(x＋1)

12、，所以函数f(x)的零点个数为函数y＝sin2x与y＝

13、

14、ln(x＋1)

15、图象的交点的个数．函数y＝sin2x与y＝

16、ln(x＋1)

17、的图象如图所示，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．6．设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________．(写出所有正确条件的编号)①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.答案　①③④⑤解析　令f(x)＝x3＋ax＋b，则f′(x)＝3x2＋a.对于①，由a＝b＝－3，得f(x)＝x3－3x－3，f′(x)＝3(x＋1)(x－1

18、)，f(x)极大值＝f(－1)＝－1<0，f(x)极小值＝f(1)＝－5<0，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根；对于②，由a＝－3，b＝2，得f(x)＝x3－3x＋2，f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)极大值＝f(－1)＝4>0，f(x)极小值＝f(1)＝0，函数f(x)的图象与x轴有两个交点，故x3＋ax＋b＝0有两个实根；对于③，由a＝－3，b>2，得f(x)＝x3－3x＋b，f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)极大值＝f(－1)＝2＋b>0，f(x)极小值＝f(1)＝b－

19、2>0，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根；对于④，由a＝0，b＝2，得f(x)＝x3＋2，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在R上单调递增，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根；对于⑤，由a＝1，b＝2，得f(x)＝x3＋x＋2，f′(x)＝3x2＋1>0，f(x)在R上单调递增，函数f(x)的图象与x轴只有一个交点，故x3＋ax＋b＝0仅有一个实根．7.已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________．答案

20、　(－∞，0)∪(1，＋∞)解析　令φ(x)＝x3(x≤a)，h(x)＝x2(x>a)，函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有两个交点，结合图象可得a<0或φ(a)>h(a)，即a<0或a3>a2