2018版高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.2 一元二次不等式及其解法 理

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1、第七章不等式7.2一元二次不等式及其解法理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a>0)的解集{x

2、xx2}{x

3、x≠－}{x

4、x∈R}一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x

5、x1

6、x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法不等式解集ab(x－a)·(x－b)>0{x

7、xb}{x

8、x≠a}{x

9、xa}(x－a)·(x－b)<0{x

10、a

11、b0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)．(2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若

12、不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　√　)(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　√　)(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　×　)(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　×　)(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　√

13、　)1．(教材改编)不等式x2－3x－10>0的解集是(　　)A．(－2,5)B．(5，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，－2)∪(5，＋∞)答案　D解析　解方程x2－3x－10＝0得x1＝－2，x2＝5，由于y＝x2－3x－10的图象开口向上，所以x2－3x－10>0的解集为(－∞，－2)∪(5，＋∞)．2．设集合M＝{x

14、x2－3x－4<0}，N＝{x

15、0≤x≤5}，则M∩N等于(　　)A．(0,4]B．[0,4)C．[－1,0)D．(－1,0]答案　B解析　∵M＝{x

16、x2－3x－4<0}＝{x

17、

18、－10，令3x2－2x－2＝0得x1＝，x2＝，∴3x2－2x－2>0的解集为(－∞，)∪(，＋∞)．4．(教材改编)若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－，)，则a＋b＝________.答案　－14解析　∵x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，∴解得∴a＋b＝－14.5．不等式x2＋ax＋

19、4≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________________．答案　(－∞，－4]∪[4，＋∞)解析　∵x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则x2＋ax＋4＝0一定有解．∴Δ＝a2－4×1×4≥0，即a2≥16，∴a≥4或a≤－4.题型一　一元二次不等式的求解命题点1　不含参的不等式例1　求不等式－2x2＋x＋3<0的解集．解　化－2x2＋x＋3<0为2x2－x－3>0，解方程2x2－x－3＝0得x1＝－1，x2＝，∴不等式2x2－x－3>0的解集为(－∞，－1)∪(，＋∞)，即原不等式的解

20、集为(－∞，－1)∪(，＋∞)．命题点2　含参不等式例2　解关于x的不等式：x2－(a＋1)x＋a<0.解　由x2－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)(x－1)＝0，∴x1＝a，x2＝1，①当a>1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x

21、1

22、a1.若a<0，

23、原不等式等价于(x－)(x－1)>0，解得x<或x>1.若a>0，原不等式等价于(x－)(x－1)<0.①当a＝1时，＝1，(x－)(x－1)<0无解；②当a>1时，<1，解(x－)(x－1)<0，得1，解(x－)(x－1)<0，得1

24、x<或x>1}；当a＝0时，解集为{x

25、x>1}；当0

26、11时，解集为{x

27、<