2018年高考数学二轮复习 专项精练 压轴大题突破练（二）直线与圆锥曲线（2）理

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1、(二)直线与圆锥曲线(2)1．(2017届浙江省嘉兴一中适应性测试)如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的一个焦点为(，0)，是椭圆上的一个点．(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆的上、下顶点分别为A，B，P(x0，y0)(x0≠0)是椭圆上异于A，B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ的中点，直线AM交直线l：y＝－1于点C，N为线段BC的中点，如果△MON的面积为，求y0的值．解　(1)设椭圆标准方程为＋＝1，由题意，得c＝.因为a2－c2＝b2，所以b2＝a2－3.又是椭圆上的一个点，所以＋＝1，解得a2＝4或a2＝(舍去)，从而椭圆的标准方程为＋y2＝1.(

2、2)因为P(x0，y0)，x0≠0，则Q(0，y0)，且＋y＝1.因为M为线段PQ的中点，所以M.又A(0,1)，所以直线AM的方程为y＝x＋1.因为x0≠0，所以y0≠1，令y＝－1，得C.又B(0，－1)，N为线段BC的中点，则N.所以＝.因此，·＝＋y0·(y0＋1)＝－＋y＋y0＝－＋y0＝1－(1＋y0)＋y0＝0.从而OM⊥MN.因为

3、OM

4、＝＝1，

5、ON

6、＝＝＝，所以在Rt△MON中，

7、MN

8、＝，因此S△MON＝

9、OM

10、

11、MN

12、＝.从而有＝，解得y0＝.2．(2017届江西省重点中学盟校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)的右顶点为A(2,0)，离心率e＝.(

13、1)求椭圆C的方程；(2)设B为椭圆上顶点，P是椭圆C在第一象限上的一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，问△PMN与△PAB面积之差是否为定值？说明理由．解　(1)依题意得解得则椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则x＋4y＝4，直线PA：y＝(x－2)，令x＝0，得yM＝，则

14、BM

15、＝

16、1－yM

17、＝yM－1＝－1－.直线PB：y＝x＋1，令y＝0，得xN＝，则

18、AN

19、＝

20、2－xN

21、＝xN－2＝－2－，∴S△PMN－S△PAB＝

22、AN

23、·(

24、OM

25、－

26、OB

27、)＝

28、AN

29、·

30、BM

31、＝＝·＝·＝2.3．(2017·山西省实验中学

32、模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点(0，－2)，F1，F2分别为其左、右焦点，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，PF1⊥x轴，且△OPF1的面积为.(1)求椭圆E的离心率和方程；(2)设A，B是椭圆上两动点，若直线AB的斜率为－，求△OAB面积的最大值．解　(1)因为椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点(0，－2)，所以b＝2，由PF1⊥x轴，且△OPF1的面积为，得×c×＝，所以＝，即离心率e＝.因为a2＝b2＋c2，所以a2－c2＝4，由解得(舍负)，故椭圆E的方程为＋＝1.(2)设直线AB的方程为y＝－x＋t，与x2＋2y2＝8联立，消去y，整理得x2－tx＋2t2－8＝

33、0，由Δ＝(－t)2－4×(2t2－8)＝－8t2＋36>0，得－

34、AB

35、＝

36、x1－x2

37、＝×＝×＝，易知点O到直线AB的距离为d＝，则△OAB的面积S＝××＝≤×＝2，当且仅当2t2＝9－2t2，即t＝±时取“＝”，经检验，满足要求，故△OAB面积的最大值为2.4．(2017·湖南省长沙市长郡中学临考冲刺训练)在平面直角坐标系xOy中，点F1(－，0)，圆F2：x2＋y2－2x－13＝0，以动点P为圆心的圆经过点F1，且圆P与圆F2内切．(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若直线l过点(1,0)，且与曲线E交于A，B两点，则在x

38、轴上是否存在一点D(t,0)(t≠0)，使得x轴平分∠ADB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．解　(1)圆F2的方程可化为(x－)2＋y2＝16，故圆心F2(，0)，半径r＝4，而

39、F1F2

40、＝2<4，所以点F1在圆F2内．又由已知得圆P的半径R＝

41、PF1

42、，由圆P与圆F2内切，可得圆P内切于圆F2，即

43、PF2

44、＝4－

45、PF1

46、，所以

47、PF1

48、＋

49、PF2

50、＝4>

51、F1F2

52、，故点P的轨迹即曲线E是以F1，F2为焦点，长轴长为4的椭圆．显然c＝，a＝2，所以b2＝＝1，故曲线E的方程为＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB的斜率不为0且存在时，

53、设直线l：x＝ny＋1，代入x2＋4y2－4＝0，得(n2＋4)y2＋2ny－3＝0，Δ＝16(n2＋3)>0恒成立．由根与系数的关系，可得y1＋y2＝，y1y2＝，设直线DA，DB的斜率分别为k1，k2，则由∠ODA＝∠ODB，得k1＋k2＝＋＝＝＝＝0.所以2ny1y2＋(1－t)(y1＋y2)＝0，将y1＋y2＝，y1y2＝代入得－6n－2n＋2nt＝0，因此n(t－4)＝0，故存在t＝4满足题意．当直线AB的斜率为0时，直线为x轴，取A(－2,0)，B(2，0)，满足∠O