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《全国高考数学复习压轴大题突破练（一）直线与圆锥曲线（1）理.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、(一)直线与圆锥曲线(1)1．(2018·唐山模拟)已知点A(－2,0)，点B(－1,0)，点C(1,0)，动圆O′与x轴相切于点A，过点B的直线l1与圆O′相切于点D，过点C的直线l2与圆O′相切于点E(D，E均不同于点A)，且l1与l2交于点P，设点P的轨迹为曲线Γ.(1)证明：
2、PB
3、＋
4、PC
5、为定值，并求Γ的方程；(2)设直线l1与Γ的另一个交点为Q，直线CD与Γ交于M，N两点，当O′，D，C三点共线时，求四边形MPNQ的面积．解 (1)由已知可得
6、PD
7、＝
8、PE
9、，
10、BA
11、＝
12、BD
13、，
14、CE
15、＝
16、CA
17、，所以
18、PB
19、＋
20、PC
21、＝
22、PD
23、＋
24、DB
25、＋
26、P
27、C
28、＝
29、PE
30、＋
31、PC
32、＋
33、AB
34、＝
35、CE
36、＋
37、AB
38、＝
39、AC
40、＋
41、AB
42、＝4>2＝
43、BC
44、，所以点P的轨迹Γ是以B，C为焦点的椭圆(去掉与x轴的交点)，可求得Γ的方程为＋＝1(y≠0)．(2)由O′，D，C三点共线及圆的几何性质，可知PB⊥CD，又由直线CE，CA为圆O′的切线，可知
45、CE
46、＝
47、CA
48、，
49、O′A
50、＝
51、O′E
52、，所以△O′AC≌△O′EC，进而有∠ACO′＝∠ECO′，所以
53、PC
54、＝
55、BC
56、＝2，又由椭圆的定义，
57、PB
58、＋
59、PC
60、＝4，得
61、PB
62、＝2，所以△PBC为等边三角形，即点P在y轴上，点P的坐标为(0，±)．(ⅰ)当点P的坐标为(0，)时
63、，∠PBC＝60°，∠BCD＝30°，此时直线l1的方程为y＝(x＋1)，直线CD的方程为y＝－(x－1)，由整理得5x2＋8x＝0，得Q，所以
64、PQ
65、＝，8由整理得13x2－8x－32＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1＋x2＝，x1x2＝－，
66、MN
67、＝
68、x1－x2
69、＝，所以四边形MPNQ的面积S＝
70、PQ
71、·
72、MN
73、＝.(ⅱ)当点P的坐标为(0，－)时，由椭圆的对称性，得四边形MPNQ的面积为.综上，四边形MPNQ的面积为.2．(2018·合肥模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>1)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，且
74、F1F2
75、＝2c，⊙F2：(
76、x－c)2＋y2＝1与该椭圆有且只有一个公共点．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点P(4c,0)的直线与⊙F2相切，且与椭圆相交于A，B两点，求证：F2A⊥F2B；(3)过点P(4c,0)的直线l与⊙F1：(x＋1)2＋y2＝r2(r>1)相切，且与椭圆相交于A，B两点，试探究kF2A，kF2B的数量关系．(1)解 ∵⊙F2与椭圆有且只有一个公共点，∴公共点为(a,0)或(－a,0)，若公共点为(－a,0)，则a＋c＝1，又＝，解得a＝<1，与a>1矛盾，故公共点为(a,0)．∴a－c＝1，又e＝＝，∴a＝2，c＝1.反之，当c＝1时，联立解得满足条件．∴椭圆的
77、标准方程为＋＝1.(2)证明 ∵P(4,0)，设过P(4,0)的直线l的方程为x＝my＋4，联立得(4＋3m2)y2＋24my＋36＝0，由Δ＝576m2－144(4＋3m2)>0，得m2>4.8设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝，又F2(1,0)，∴·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(1＋m2)y1y2＋3m(y1＋y2)＋9＝－＋9＝.由l：x＝my＋4与⊙F2：(x－1)2＋y2＝1相切得m2＝8，满足m2>4，∴·＝0，即F2A⊥F2B.(3)解 猜想：＋＝0.证明如下：由(2)得＋＝＋＝.∵2my1y2＋3(y
78、1＋y2)＝2m×－＝0，∴＋＝0.3．(2018·成都模拟)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1的左、右焦点．若P是该椭圆上的一个动点，·的最大值为1.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线x＝ky－1与椭圆E交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A′(A′与B不重合)，则直线A′B与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．解 (1)由题意得a＝2，c＝，b<4，∴F1(－，0)，F2(，0)．设P(x，y)，则＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)，即·＝x2＋y2－(4－b)8＝x2＋b－－4＋b＝x2＋2b－4，∵x∈[－2
79、,2]，∴当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，·有最大值1，即1＝×4＋2b－4，解得b＝1，故所求的椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)由消去x，整理得(k2＋4)y2－2ky－3＝0，显然Δ＝4k2＋12(k2＋4)＝16k2＋48>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′(x1，－y1)，故y1＋y2＝，y1·y2＝.∴经过点A′(x1，－y1)，B(x2，y2)的直线方程为＝，令y＝0，则x＝y1＋x1＝＝，又x1＝ky1－1，x2＝ky2－1，∴x＝＝＝8＝＝－4，即当x＝－4时，y＝0.∴直线A′B与x轴交于定点(－4,0)．4．(2018·济南
80、模拟)在平面直角坐标系x
