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时间:2018-12-16
《2018年高考数学 命题角度6.3 利用导数研究函数的零点、方程的根大题狂练 理》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、命题角度3:利用导数研究函数的零点、方程的根1.已知函数(且),为自然对数的底数.(Ⅰ)当时,求函数在区间上的最大值;(Ⅱ)若函数只有一个零点,求的值.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】试题分析:(1)由导函数的解析式可得.(2)由,得,分类讨论和两种情况可得.(Ⅱ),,令,得,则①当时,,极小值所以当时,有最小值,因为函数只有一个零点,且当和时,都有,则,即,因为当时,,所以此方程无解.②当时,,极小值所以当时,有最小值,因为函数只有一个零点,且当和时,都有,所以,即()(*)设,则,令,得,当时,;当时,;所以当时,,所以方程(*)有且只有一解.
2、综上,时函数只有一个零点.点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出,本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.2.设函数,.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)当时,讨论函数与图像的交点个数.【答案】(Ⅰ)见解析
3、;(Ⅱ)见解析.【解析】试题分析:(1)先求出函数的导数,解关于导函数的不等式,从而求出函数的单调区间;(2)问题转化为求函数,的零点个数问题,通过求导,得到函数F(x)的单调区间,求出F(x)的极小值,从而求出函数h(x)的零点个数即f(x)和g(x)的交点个数.(Ⅱ)解:令,问题等价于求函数的零点个数,当时,,有唯一零点;当时,,当时,,函数为减函数,注意到,,所以有唯一零点;当时,或时,时,所以函数在和单调递减,在单调递增,注意到,,所以有唯一零点;当时,或时,时,所以函数在和单调递减,在单调递增,意到,所以,而,所以有唯一零点.综上,函数有
4、唯一零点,即两函数图象总有一个交点.3.已知函数().(1)若在点处的切线与直线垂直,求实数的值;(2)求函数的单调区间;(3)讨论函数在区间上零点的个数.【答案】(1)(2)见解析(3)见解析【解析】试题分析:由,直线的斜率为,所以得出a值,(2)确定函数的单调区间大于零或小于零解不等式即可注意当当,时(3)由(2)可知,当时,在上单调递增,而,故在上没有零点;当时,在上单调递增,而,故在上有一个零点;只需讨论当时结合草图根据零点所在的区间逐一讨论即可试题解析:(1)由题可知的定义域为,因为,所以又因为直线的斜率为,,解得(2)由(1)知:,当时
5、,,所以在上单调递增;当时,由得,由得,所以在上单调递增,在上单调递减.综上所述:当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减.②若,即时,在上单调递增,在上单调递减,而,,,若,即时,在上没有零点;若,即时,在上有一个零点;若,即时,由得,此时,在上有一个零点;由得,此时,在上有两个零点;③若,即时,在上单调递增,,,在上有一个零点.综上所述:当或时,在上有一个零点;当或时,在上没有零点;当时,在上有两个零点.4.已知函数.(1)当时,求证:对时,;(2)当时,讨论函数零点的个数.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】试题分析:(1
6、)函数求导,再求导得恒成立,又因为恒成立;(2)由(1)可知,当x≤0时,f″(x)≤0,可得对∀x∈R,f′(x)≥0,即ex≥x+1,分类讨论当x≥-1时,当x<-1时,函数y=f(x)的零点个数即可得解;当x<-1时,再分0≤m≤1和m<0两种情况进行讨论,由函数零点定理进行判断即可得到答案.试题解析:,所以(1)当时,,则,令,则,当时,,即,所以函数在上为增函数,即当时,,所以当时,恒成立,所以函数在上为增函数,又因为,所以当时,对恒成立.(2)由(1)知,当时,,所以,所以函数的减区间为,增函数为.所以,所以对,,即.①当时,,又,,即
7、,所以当时,函数为增函数,又,所以当时,,当时,,所以函数在区间上有且仅有一个零点,且为.②当时,(ⅰ)当时,,所以,所以函数在上递增,所以,且,故时,函数在区间上无零点.(ⅱ)当时,,令,则,所以函数在上单调递增,,当时,,又曲线在区间上不间断,所以,使,故当时,,当时,,所以函数的减区间为,增区间为,又,所以对,又当时,,又,曲线在区间上不间断.所以,且唯一实数,使得,综上,当时,函数有且仅有一个零点;当时,函数有个两零点.点睛:已知函数有零点求参数常用的方法和思路:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围
8、;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成函数的值域问题解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一个平面直角坐标系中,画
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