2018年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第76讲 离心率取值范围的常见求法

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1、第76讲离心率取值范围的常见求法【知识要点】1、求圆锥曲线离心率的取值范围是高考的一个热点,也是一个难点.2、椭圆的离心率,双曲线的离心率,抛物线的离心率,对于这三种圆锥曲线的离心率的范围要清楚,自己求出的离心率的范围必须和这个范围求交集.3、求离心率的取值范围常用的方法有以下三种:(1)利用圆锥曲线的变量的范围,建立不等关系;(2)直接根据已知中的不等关系,建立关于离心率的不等式;(3)利用函数的思想分析解答.【方法讲评】方法一利用圆锥曲线的变量的范围,建立不等关系.解题步骤先求出曲线的变量或的表达式,再

2、利用它们的范围化简得到离心率的不等式,解不等式即可得到离心率的取值范围.【例1】设椭圆的左右焦点分别为,,如果椭圆上存在点,使,求离心率的取值范围.从而,且所以【点评】(1)本题主要椭圆中的满足建立了关于离心率的不等式.(2)求离心率的取值范围,注意圆锥曲线离心率法范围,椭圆的离心率,双曲线的离心率,求出离心率的取值范围后,必须和它本身的范围求交集,以免扩大范围,出现错解.【反馈检测1】双曲线在右支上存在与右焦点、左准线长等距离的点,求离心率的取值范围.方法二直接根据已知中的不等关系,建立关于离心率的不等式

3、.解题步骤根据已知中的不等关系,得到关于的不等关系,再转化为离心率的不等式,解不等式.【例2】已知双曲线的右焦点为,若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率的取值范围是.【点评】本题就是直接根据“直线与双曲线的右支有且只有一个交点”得到关于的不等式,再转化成关于的二次不等式,解二次不等式即得离心率的取值范围.【反馈检测2】过双曲线的右焦点作实轴所在直线的垂线,交双曲线于,两点,设双曲线的左顶点为,若点在以为直径的圆的内部,则此双曲线的离心率的取值范围为()A.B.C.D.方法

4、三利用函数的思想分析解答.解题步骤根据题意,建立关于离心率的函数表达式,再利用函数来离心率函数的值域.【例3】设,则双曲线的离心率的取值范围是()A.B.C.D.【点评】本题就是利用离心率的公式建立了关于实数的函数,再利用二次函数的图像和性质来求函数的值域,即得离心率的取值范围.【反馈检测3】已知椭圆上一点关于原点的对称点为点,为其右焦点,若,设,且,则该椭圆离心率的取值范围为()A.B.C.D.【反馈检测4】设双曲线:与直线相交于不同的两点.求双曲线的离心率的取值范围.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第

5、76讲:离心率取值范围的常见求法参考答案【反馈检测1答案】【反馈检测2答案】【反馈检测2详细解析】设双曲线方程为,则直线AB方程为:,其中,因此,设,,∴,解之得,得∵双曲线的左焦点在以为直径的圆内部,∴,即<,将,并化简整理,得,两边都除以,整理得,解之得(舍负)故选.【反馈检测3答案】【反馈检测3详细解析】∵和关于原点对称∴也在椭圆上设左焦点为根据椭圆定义:又∵∴①是的斜边中点,∴又②③②③代入①∴即∴,所以.【反馈检测4答案】

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