2018年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第71讲 圆的方程的求法

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1、第71讲圆的方程的求法【知识要点】一、圆的定义：平面内到定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆.二、圆的标准方程：圆心在、半径为的圆的标准方程是.圆心在原点，半径为的方程为三、圆的一般方程：当时，方程叫做圆的一般方程.由得（1）当时，表示圆心为，半径为的圆；（2）当时，表示点；（3）当时，不表示任何图形.四、求圆的方程的方法：待定系数法，先定式，后定量.如果与圆心和半径有关，一般选标准式，否则用一般式.五、圆的弦长有关的问题，主要是解半半弦三角形.六、解答有关圆的问题时，注意灵活结合平面几何里圆的知识分析，减少运算量，提高解题效率.【方法讲评】方法一标准式求圆的方程数学情景

2、一般已知与圆心、半径有关的几何条件解题步骤一般利用待定系数法，先设出圆的标准方程，再列方程求出待定系数.【例1】求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程．【点评】（1）由于本题已知条件中涉及到了圆心和半径，所以选择标准式方程求解.（2）解答圆的有关问题时，要注意利用初中老师讲的圆的平面几何的知识综合分析，这样可以提高解题效率.【反馈检测1】已知圆满足：①截轴所得弦长为；②被轴分成两段圆弧，其弧长的比为；③圆心到直线：的距离为的圆的方程.方法二一般式求圆的方程数学情景条件很一般.解题步骤一般利用待定系数法，先设出圆的一般式方程，再列方程求出待定系数.【例2】已知

3、中，顶点，边上的中线所在直线的方程是，边上高所在直线的方程是．（1）求点、C的坐标；（2）求的外接圆的方程．【解析】（1）由题意可设,则的中点.因为的中点必在直线上,代入有①又因为在直线上，所以代入有②由①②联立解得.则,因为在直线上，代入有③又因为直线,所以有,则有④，根据③④有.法二：（2）设外接圆的方程为，其中.因为三角形的个顶点都在圆上，所以根据（1），将三点坐标代入有：解得∴外接圆的方程为．【点评】第2问，可以利用平面几何圆的知识，设成标准式方程，也可以直接设成一般式方程求解.【反馈检测2】求过直线与已知圆的交点，且在两坐标轴上的四个截距之和为8的圆的方程.方法三圆

4、系的方程数学情景已知条件与圆系有关解题步骤一般利用圆系的知识设出圆的方程，再列方程求出待定系数，最后得到圆的方程.【例3】经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为.【点评】本题利用了过两圆的交点的圆系方程.(2)这种解法实际上也是待定系数法.【反馈检测3】求圆心在直线上，且过两圆，交点的圆的方程．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第71讲：圆的方程的求法参考答案【反馈检测1答案】或由①、②得：又∵到的∴∴∴或∴或∴或∴或【反馈检测2答案】【反馈检测3答案】【反馈检测3详细解析】解法一：将两圆的方程联立得方程组，方程组求得两圆的交点坐标A（－4，0），B（0，2）．因所求圆

5、心在直线上，故设所求圆心坐标为，则它到上面的两上交点（－4，0）和（0，2）的距离相等，故有，即，∴，，从而圆心坐标是（－3，3）．又，故所求圆的方程为．解法二：同解法一求得两交点坐标A（－4，0），B（0，2），弦AB的中垂线为，它与直线交点（－3，3）就是圆心，又半径，故所求圆的方程为．解法三：设所求圆的方程为，即．可知圆心坐标为．因圆心在直线上，所以，解得．将代入所设方程并化简，求圆的方程．