2018年高中数学 回扣验收特训（一）解三角形 苏教版必修5

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1、回扣验收特训（一）解三角形1．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若ccosA＝b，则△ABC是________．解析：根据余弦定理，得c·＝b，即c2＝a2＋b2，故△ABC一定是直角三角形．答案：直角三角形2．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2－c2＝2b，且sinB＝6cosA·sinC，则b的值为________．解析：由正弦定理与余弦定理可知，sinB＝6cosAsinC可化为b＝6··c，化简可得b2＝3(b2＋c2－a2)，又a2－c2＝2b且b

2、≠0，得b＝3.答案：33．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝，a＝2，S△ABC＝，则b＝________.解析：由已知得：cosA＝，S△ABC＝bcsinA＝bc×＝，∴bc＝3，又由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA，即b2＋c2－2＝4，∴b2＋c2＝6，∴b＋c＝2，解得b＝c＝.答案：4．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为____

3、____．解析：由正弦定理得(2＋b)(a－b)＝(c－b)c，即(a＋b)·(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝，又A∈(0，π)，所以A＝，又b2＋c2－a2＝bc≥2bc－4，即bc≤4，故S△ABC＝bcsinA≤×4×＝，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，则△ABC面积的最大值为.答案：5．在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________.解析：由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠ADB＝，∠ADB＝45°，从而∠BAD＝15

4、°＝∠DAC，所以∠C＝180°－120°－30°＝30°，AC＝＝.答案：6．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则△ABC的面积等于________．解析：由余弦定理，得cosA＝＝＝，所以sinA＝，所以S△ABC＝AB·ACsinA＝×3×4×＝3.答案：37．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC＋c＝b，则角A＝________.解析：在△ABC内应用余弦定理得：cosC＝，将其代入acosC＋c＝b中可得：a×＋c＝b，化简整理得：b2＋c2－a2＝b

5、c，于是cosA＝＝，所以A＝.答案：8．在△ABC中，已知2acosB＝c，sinAsinB(2－cosC)＝sin2＋，则△ABC的形状为________．解析：依题意得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)，2sinAcosB－sin(A＋B)＝sin(A－B)＝0，因此B＝A，C＝π－2A，于是有sin2A(2＋cos2A)＝cos2A＋，即sin2A(3－2sin2A)＝1－sin2A＋＝，解得sin2A＝，因此sinA＝，又B＝A必为锐角，因此B＝A＝，△ABC是等腰直角三角

6、形．答案：等腰直角三角形9．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝________.解析：由已知条件可得图形，如图所示，设CD＝a，在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，∴a2＝(a)2＋(a)2－2×a×a×cos∠DAC，∴cos∠DAC＝.答案：10．已知△ABC的面积为，AC＝，∠ABC＝，则△ABC的周长等于________．解析：由题意可得AB·BC·sin∠ABC＝，即AB·BC·＝，所以AB·BC

7、＝2.再由余弦定理可得3＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos＝AB2＋BC2－2，所以AB2＋BC2＝5，所以(AB＋BC)2＝AB2＋BC2＋2AB·BC＝5＋4＝9，所以AB＋BC＝3，所以△ABC的周长等于AB＋BC＋AC＝3＋.答案：3＋11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan＝2.(1)求的值；(2)若B＝，a＝3，求△ABC的面积．解：(1)由tan＝2，得tanA＝，所以＝＝.(2)由tanA＝，A∈(0，π)，得sinA＝，cosA＝.由a＝3，B

8、＝及正弦定理＝，得b＝3.由sinC＝sin(A＋B)＝sin，得sinC＝.设△ABC的面积为S，则S＝absinC＝9.12.如图所示，某人在塔的正东C处沿着南偏西60°的方向前进40m到D处以后，望见塔在东北方向．若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔的高度．解：在△BDC中，CD＝40m，∠BCD＝90°－60°＝30°，∠DBC＝45°＋90°＝135°.由正弦定理，得＝，∴BD＝＝＝20(m)．在Rt△ABE中，tan∠AEB＝，AB为定值，故要使∠AEB最大，需要BE最小．即BE⊥C