2019届高考数学大一轮复习第五章平面向量5.1平面向量的概念及线性运算学案理北师大版

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1、§5.1　平面向量的概念及线性运算最新考纲考情考向分析1.了解向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3.理解向量的几何表示．4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现.1．向量的有关概念名称定义备注

2、向量既有大小，又有方向的量；向量的大小叫作向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于单位1的向量非零向量a的单位向量为±平行向量(共线向量)表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(3)交换律：a＋b＝b＋a；(4)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的

3、相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(6)

4、λa

5、＝

6、λ

7、

8、a

9、；(7)当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0(8)λ(μa)＝(λμ)a；(9)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(10)λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共线的判定定理a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．知识拓展1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和

10、为零向量．2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．3.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　×　)(2)

11、a

12、与

13、b

14、是否相等与a，b的方向无关．(　√　)(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　×　)(4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　×　)(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　√　)(6)若两个向量共线

15、，则其方向必定相同或相反．(　×　)题组二　教材改编2．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝______，＝________.(用a，b表示)答案　b－a　－a－b解析　如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.3．在平行四边形ABCD中，若

16、＋

17、＝

18、－

19、，则四边形ABCD的形状为________．答案　矩形解析　如图，因为＋＝，－＝，所以

20、

21、＝

22、

23、.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．题组三　易错自纠4．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)A．充分不必要条件

24、B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案　A解析　若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.答案　解析　∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则解得λ＝μ＝.6．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)

25、，则λ1＋λ2的值为________．答案　解析　＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，∴λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.题型一　平面向量的概念1．给出下列四个命题：①若

26、a

27、＝

28、b

29、，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是

30、a

31、＝

32、b

33、且a∥b.其中正确命题的序号是(　　)A．②③B．①②C．③④D．②④答案　A解析　①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；②正确．∵＝，∴

34、

35、＝

36、

37、且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边

38、形ABCD为平行四边形，反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且

39、

40、＝

41、

42、，∴＝；③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c；④不正确．当a∥b且方向相反时，即使