2018版高考数学二轮复习 第3部分 考前增分策略 专题1 考前教材重温 4 数列与不等式教学案 理

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1、4.数列与不等式■要点重温…………………………………………………………………………·1．等差数列及其性质(1){an}等差数列⇔an＋1－an＝d(d为常数)或an＋1－an＝an－an－1(n≥2)⇔2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)⇔an＝an＋b⇔Sn＝An2＋Bn.(2)等差数列的性质①an＝am＋(n－m)d；②当m＋n＝p＋q时，则有am＋an＝ap＋aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am＋an＝2ap.③Sn＝na1＋d＝n2＋n是关于n的二次函数且常数项为0.④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成

2、等差数列．[应用1]　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝12，S20＝17，则S30为(　　)A．15　　　　B．20C．25D．30[答案]　A2．等比数列及其性质(1){an}等比数列⇔⇔＝q(q为常数，q≠0)(a1≠0)⇔an＝a1·qn－1.[应用2]　x＝是a、x、b成等比数列的(　　)【导学号：07804176】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[解析]　若x＝a＝0，x＝成立，但a、x、b不成等比数列，所以充分性不成立；反之，若a、x、b成等比数列，则x2＝a

3、b⇔x＝±，所以x＝不一定成立，必要性不成立．所以选D.[答案]　D(2)等比数列的性质当m＋n＝p＋q时，则有am·an＝ap·aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am·an＝a.[应用3]　(1)在等比数列{an}中，a3＋a8＝124，a4a7＝－512，公比q是整数，则a10＝________.(2)各项均为正数的等比数列{an}中，若a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________.[答案]　(1)512　(2)10(3)求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选

4、择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q＝1和q≠1两种情形讨论求解．[应用4]　设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则数列的公比q是________．[解析]　①当q＝1时，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1，∴S3＋S6＝S9成立．②当q≠1时，由S3＋S6＝S9得＋＝∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q3－1)(q6－1)＝0.∵q≠1，∴q3－1≠0，∴q6＝1，∴q＝－1.[答案]　1或－13．求数列通项的常见类型及方法(1)已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳、猜想法．[应

5、用5]　如图10(1)，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图10(2)，如此继续下去，得图10(3)……，试探求第n个图形的边长an和周长Cn.图10(1)　　　图10(2)　　　　图10(3)[答案]　an＝，Cn＝×(3×4n－1)(2)如果给出的递推关系式符合等差或等比数列的定义，可直接利用等差或等比数列的公式写出通项公式．(3)叠加法(迭加法)：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1；叠乘法(迭乘法)：＝··……·.[应用6]　

6、已知a1＝1，an＋1＝2nan，求an.[答案]　an＝2(4)已知Sn与an的关系，利用关系式an＝求an.[应用7]　已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1，则an＝________.[解析]　当n＝1时，a1＝S1＝3.n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1)－(2n－1＋1)＝2n－2n－1＝2n－1.所以an＝.[答案]　(5)构造转化法：转化为等差或等比数列求通项公式．[应用8]　已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)成立．数列{an}满足an＝

7、f(2n)(n∈N*)，且a1＝2，则数列{an}的通项公式为an＝________.[解析]　令x＝2，y＝2n－1，则f(xy)＝f(2n)＝2f(2n－1)＋2n－1f(2)，即an＝2an－1＋2n，＝＋1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，由此可得＝1＋(n－1)×1＝n，即an＝n·2n.[答案]　n·2n4．数列求和的方法(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式；(2)分组求和法；(3)倒序相加法；(4)错位相减法；(5)裂项法．如：＝－；＝.[应用9]　求和：Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1.[答案

8、]　Sn＝(6)并项法数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．[应用10]　数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N，n≥1)，若a2＝1，Sn是{an}的前n项和，则S21的值为________.【导学号：07804177】[答案]　5．研究数列{