2018版高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.4 点到直线的距离学案（含解析）新人教b版必修2

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1、2.2.4　点到直线的距离1.掌握点到直线的距离公式并能灵活运用此公式解决距离问题.(重点)2.会求两条平行直线的距离.(重点)3.点到直线的距离公式的推导.(难点)[基础·初探]教材整理1　点到直线的距离阅读教材P87～P88“例1”以上内容，完成下列问题.1.概念过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离.2.公式点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.原点到直线x＋2y－5＝0的距离是(　　)A.B.　　　　C.2　　　　D.【解析】　由点到直线的距离公式得d＝＝.【答案】　D教材整理

2、2　两平行线间的距离公式阅读教材P89“例2”内容，完成下列问题.1.概念夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离.2.求法两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离.3.公式两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.两直线3x＋4y－2＝0和6x＋8y－5＝0的距离等于(　　)A.3B.7C.D.【解析】　直线6x＋8y－5＝0化为3x＋4y－＝0.故两直线平行，且两直线间的距离为：d＝＝＝.【答案】　C[小组合作型]点到直线的距离　求过点M(－2,1)，且与A(－1,2)

3、，B(3,0)距离相等的直线方程.【精彩点拨】　所求直线过点M，且到两定点A和B的距离相等.解答本题可以根据几何意义分两类情况：(1)直线过线段AB的中点；(2)所求直线与AB平行，或可利用点到直线的距离公式求解.【自主解答】　法一　由题意可得kAB＝－，线段AB的中点为C(1,1)，满足条件的直线经过线段AB的中点或与直线AB平行.当直线过线段AB的中点时，由于M与C点的纵坐标相同，所以直线MC的方程为y＝1；当直线与AB平行时，其斜率为－，由点斜式可得所求直线方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋2y＝0.综上，所求直线的方程为y

4、＝1或x＋2y＝0.法二　显然所求直线的斜率存在，设直线方程为y＝kx＋b，根据条件有：化简得：或所以或故所求直线方程为y＝1或x＋2y＝0.解此类题目有两种方法，一是利用数形结合的方法，过一定点与两定点距离相等的点的直线有两条，根据这两条直线的几何特征可求出其直线方程.二是求此类问题的一般方法，它应用了点到直线的距离公式，但设所求直线的方程时，要注意考虑直线的斜率是否存在.[再练一题]1.求点P(3，－2)到下列直线的距离：(1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4.【解】　(1)直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点

5、到直线的距离公式可得d＝＝.(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝

6、－2－6

7、＝8.(3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝

8、3－4

9、＝1.两条平行线间的距离　直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求直线l1与l2的方程.【精彩点拨】　先设出l1、l2的方程，利用两条平行线间的距离公式求解，但注意直线斜率的讨论.【自主解答】　当l1，l2的斜率不存在，即l1：x＝0，l2：x＝5时，满足条件.当l1、l2的斜率存在时，设l1：y＝kx＋1，即kx－y＋

10、1＝0，l2：y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，由两条平行直线间的距离公式得＝5，解得k＝.此时l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.综上所述，所求直线l1，l2的方程为l1：x＝0，l2：x＝5或l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.求两平行线间距离一般有两种方法1.转化法：将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算.2.公式法：直接用公式d＝，但要注意两直线方程中x

11、，y的系数必须分别相同.[再练一题]2.与直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程为(　　)A.2x＋y＝0B.2x＋y－2＝0C.2x＋y＝0或2x＋y－2＝0D.2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0【解析】　根据题意可设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，因为两直线间的距离等于，所以d＝＝，解得c＝0或c＝2.故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.【答案】　D[探究共研型]距离公式的综合应用探究1　两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.你能求出d的取值范

12、围吗？【提示】　如图，显然有0

13、AB

14、.而

15、AB

16、＝＝3.故所求的d的变化范围为(0,3].探究2　上述问题中，当d取最大值时，请求出两条直线的方程.【提示】　由上图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直.而kAB＝＝，∴所求直线的斜率为－3