2018版高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3.2 圆的一般方程学案（含解析）新人教b版必修2

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1、2.3.2　圆的一般方程1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(重点)2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(重点)3．灵活选取恰当的方法求圆的方程．(难点)[基础·初探]教材整理　圆的一般方程阅读教材P97至P98“例1”以上内容，完成下列问题．1．圆的一般方程的概念当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为.3．对

2、方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明方程条件图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F＜0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F＞0表示以为圆心，以为半径的圆判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程．(　　)(2)圆的一般方程和标准方程可以互化．(　　)(3)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为，半径为的圆．(　　)(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey

3、0＋F>0.(　　)【解析】　(1)正确．圆的方程都能写成一个二元二次方程．(2)正确．圆的一般方程和标准方程是可以互化的．(3)错误．当a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，即－2，即x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√[小组合作型]圆的一般方程的概念辨析　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径.【导学号：45722102】【精彩点拨】　(1)

4、根据表示圆的条件求m的取值范围；(2)将方程配方，根据圆的标准方程求解．【自主解答】　　(1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜，故m的取值范围为.(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝.解答该类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一看D2＋E2－4F是否大于零，二是直接

5、配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数.[再练一题]1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．(1)x2＋y2＋x＋1＝0；(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．【解】　(1)∵D＝1，E＝0，F＝1，∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3＜0，∴方程不表示任何图形．(2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2，∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，∴方程表示点(－a,0)．(3)两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a，F＝0，∵a≠0，∴D2＋

6、E2－4F＝2a2＞0，∴方程表示圆，它的圆心为，半径r＝＝

7、a

8、.求圆的一般方程　圆C过点A(1,2)，B(3,4)，且在x轴上截得的弦长为6，求圆C的方程．【精彩点拨】　由条件，所求圆的圆心、半径均不明确，故设出圆的一般方程，用待定系数法求解．【自主解答】　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圆过A(1,2)，B(3,4)，∴D＋2E＋F＝－5，①3D＋4E＋F＝－25.②令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.设圆C与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2，则x1＋x2＝－D，x1x2＝F.∵

9、x1－x2

10、＝6，∴(x1

11、＋x2)2－4x1x2＝36，即D2－4F＝36.③由①②③得D＝12，E＝－22，F＝27，或D＝－8，E＝－2，F＝7.故所求圆的方程为x2＋y2＋12x－22y＋27＝0，或x2＋y2－8x－2y＋7＝0.如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用设圆的一般方程，再用待定系数法求D、E、F.[再练一题]2．已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求三角形ABC的外接圆的方程．【解】　设三角形ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意得解得即三角形ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝

12、0.[探究共研型]求动点的轨迹方程探究1　已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，你能求出点M的轨迹方程吗？【提示】　设M(x，y)，则＝2，整理可得点M的轨迹方程为x2＋y2＝16.探究2　已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1,0