2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质（二）学案 苏教版选修1-1

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1、2．2.2　椭圆的几何性质(二)学习目标　1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．知识点一　点与椭圆的位置关系思考1　判断点P(1,2)与椭圆＋y2＝1的位置关系．　　思考2　类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？　　梳理　设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：位置关系满足条件P在椭圆外＋>1P在椭圆上＋＝1P在椭圆内＋<1知识点二　直线与椭圆的位置关系思考1　直线与椭圆有几种位

2、置关系？　　思考2　如何判断y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系？　　梳理　直线与椭圆的三种位置关系位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ>0相切一解Δ＝0相离无解Δ<0知识点三　直线与椭圆的相交弦思考　若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？　　梳理　弦长公式：(1)AB＝＝

3、x1－x2

4、＝；(2)AB＝

5、y1－y2

6、＝(直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，k为直线的斜率)．其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y或x后得到关于x或y的一

7、元二次方程，由一元二次方程的根与系数的关系而得到．类型一　直线与椭圆的位置关系命题角度1　直线与椭圆位置关系的判定例1　若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，求m的取值范围．　反思与感悟　判断直线与椭圆的位置关系的方法跟踪训练1　当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144.(1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点．　　命题角度2　距离的最值问题例2　在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．　　　反思与感悟　本题

8、将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题．解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具．跟踪训练2　已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．　　　类型二　弦长及中点问题例3　已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点．(1)当直线l的

9、斜率为时，求线段AB的长度；(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．　　反思与感悟　处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．跟踪训练3　已知椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．　　　类型三　椭圆中的最值(或范围)问题例4　已知椭圆4x2＋y2＝

10、1及直线y＝x＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．引申探究　在本例中，若设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程．　　　反思与感悟　解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利

11、用根的判别式来确定参数的限制条件．跟踪训练4　直线y＝b与椭圆＋y2＝1交于A，B两点，记△AOB的面积为S.求在0

12、y1－y2

13、的值为________．4．

14、过点P(－1,1)的直线交椭圆＋＝1于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，则AB所在的直线方程为________________．5．直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，且MN＝，求直线l的方程．　　1．直线与椭圆相交弦长的有关问题(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式