2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质（一）学案 苏教版选修1-1

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1、2．2.2　椭圆的几何性质(一)学习目标　1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一　椭圆的几何性质已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1：＋＝1，C2：＋＝1.思考1　怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标分别是什么？　　思考2　椭圆具有对称性吗？　　思考3　椭圆C1、C2中x，y的取值范围分别是什么？　梳理　标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形性质焦点焦距F1F2＝2cF1F2＝2c(c

2、＝)(c＝)范围对称性关于____________对称顶点轴长轴长________，短轴长________知识点二　椭圆的离心率思考　观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？　　梳理　(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝，叫做椭圆的________．(2)性质：离心率e的取值范围是________，当e越接近于1，椭圆越________，当e越接近于________，椭圆就越接近于圆．类型一　由椭圆方程研究其几何性质例1　求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴

3、长、离心率、焦点和顶点坐标．引申探究　已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．　反思与感悟　解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪训练1　设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．　　类型二　求椭圆的离心率命题角度1　与焦点三角形有关的求离心率问题例2　椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1，

4、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．反思与感悟　涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a与c的关系或利用e＝求解．跟踪训练2　设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为________．命题角度2　利用a，c的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)例3　(1)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，

5、B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率为________．(2)若椭圆＋＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围是________．反思与感悟　若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．跟踪训练3　若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数

6、列，则该椭圆的离心率是________．类型三　利用几何性质求椭圆的标准方程例4　(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝，求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为－，求这个椭圆的方程．　　　反思与感悟　此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b.在求解时，需注意当焦点所在位置不确定时，应分类讨论．跟踪训练4　根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：

7、(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.　　1．椭圆＋＝1的上顶点与右顶点之间的距离为________．2．若椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦距为2，则此椭圆的标准方程为________________________．3．已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．4．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是_________

8、_______．5．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为________．1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思