2018版高中数学 第三章 不等式 3.4.1 基本不等式的证明学案 苏教版必修5

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1、3．4.1　基本不等式的证明学习目标　1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．知识点一　算术平均数与几何平均数思考　如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直AB于Q，连结AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？　　梳理　一般地，对于正数a，b，为a，b的________平均数，为a，b的________平均数．两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤.其几何意义如图中的PO≥P

2、Q.知识点二　基本不等式及其常见推论思考　如何证明不等式≤(a>0，b>0)?　梳理　≤(a>0，b>0)．当对正数a，b赋予不同的值时，可得以下推论：(1)ab≤()2≤(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同号)；(3)当ab>0时，＋≥2；当ab<0时，＋≤－2；(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．类型一　常见推论的证明例1　证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．引申探究证明不等式()2≤(a，b∈R)．　　　　　　　反思与感悟　(1)本例证明的不等式成立的条件是a，b∈R，

3、与基本不等式不同．(2)本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法．跟踪训练1　已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.　　类型二　用基本不等式证明不等式例2　已知x，y都是正数．求证：(1)＋≥2；(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.　　　　　反思与感悟　利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”

4、．(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．跟踪训练2　已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.　　　　类型三　用基本不等式比大小例3　某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则x与的大小关系是________．反思与感悟　基本不等式≥一端为和，

5、一端为积，使用基本不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和．跟踪训练3　设a＞b＞1，P＝，Q＝，R＝lg，则P，Q，R的大小关系是________．1．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围为________．2．若00，b>0，给出下列不等式：①a2＋1>a；②≥4；③(a＋b)≥4；④a2＋9>6a.其中恒成立的是________．(填序号)1．两个不等式

6、a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b.2.在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．答案精析问题导学知识点一思考　PO＝＝.易证Rt△APQ∽Rt△PBQ，那么PQ2＝AQ·QB，即PQ＝.梳理　算术　几何知识点二思考　∵a＋b－2＝()2＋()2－2·＝(－)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，∴a＋b≥2，∴≤，当

7、且仅当a＝b时，等号成立．题型探究例1　证明　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.引申探究证明　由例1，得a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，两边同除以4，即得()2≤，当且仅当a＝b时，取等号．跟踪训练1　证明　∵a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca，∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．例2　证明　(1)∵x，y都是正数，∴>0，>0，∴＋≥2＝2，即＋

8、≥2，当且仅当x＝y时，等号成立．(2)∵x，y都是正数，∴x＋y≥2>0，x2＋y2≥2>0，x3＋y3≥2>0.∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3，即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，当且仅当x＝y时，等号成立．跟踪训练2　已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.证明　∵a，b，c都是正实数，∴a＋b≥2>0，b