2018版高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.4 第2课时 两平面垂直学案 苏教版必修2

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1、1.2.4第2课时　两平面垂直1．了解二面角的概念，能在长方体中度量二面角．(难点)2．理解并掌握面面垂直的判定定理．(难点、重点)3．掌握面面垂直的性质定理及其应用方法．(难点、重点)[基础·初探]教材整理1　与二面角有关的概念阅读教材P46～P47例1，完成下列问题．1．平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为AB，面为α，β的二面角，记作二面角α－AB－β.2．一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，

2、在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．3．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．我们约定，二面角α的大小范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角．一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在

3、棱上的位置没有关系．其中正确的是________．【答案】　②④教材整理2　平面与平面垂直的判定定理阅读教材P47～P48例2，完成下列问题．平面与平面垂直的判定定理自然语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直符号语言l⊥α，l⊂β⇒α⊥β图形语言判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两平面相交，如果所成的二面角是直角，则这两个平面垂直．(√)(2)一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面一定垂直．(√)(3)一条直线与两个平面中的一个平行，与另一个垂直，则这两个平面垂直．(√)(4)一个平面与两平行平面中的一个垂

4、直，则与另一个平面也垂直．(√)教材整理3　平面与平面垂直的性质定理阅读教材P48例2以下部分内容，完成下列问题．平面与平面垂直的性质定理自然语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面符号语言α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β图形语言1．已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则a与α的位置关系是________.【答案】　a∥α或a⊂α2．若三个不同的平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，则α与β之间的位置关系是________．【解析】　如图所示，满足α⊥γ，β⊥γ的α与β之间的位置关系可能为平行，也可能相交．【答

5、案】　平行或相交[小组合作型]　面面垂直的判定定理的应用　已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N分别是AB，PC的中点．求证：平面MND⊥平面PCD.【精彩点拨】　欲证平面MND⊥平面PCD，只需证明平面MND中的直线MN⊥平面PCD即可，取PD的中点E，易知MN∥AE，故只需证明AE⊥平面PCD即可．【自主解答】　如图，取PD的中点E，连结AE，NE.∵E，N分别是PD，PC的中点，∴EN綊CD.又AB∥CD，AM＝AB，∴EN綊AM，∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又CD⊥

6、AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE.在等腰直角三角形PAD中，AE是斜边PD上的中线，∴AE⊥PD.又CD∩PD＝D，∴AE⊥平面PCD.又MN∥AE，∴MN⊥平面PCD.∵MN⊂平面MND，∴平面MND⊥平面PCD.面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直．[再练一题]1．如图1－2－91，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AA1＝2AC，D是棱AA1的中点．求证：平面BDC1⊥平面BDC.图1－2－91【解】　由题

7、设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1.又∵DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，∴∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又∵DC∩BC＝C，∴DC1⊥平面BDC，∵DC1⊂平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC.　面面垂直性质的应用　如图1－2－92，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：图1－2－92(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.【精彩点拨】　(1)在平

8、面EFG中找两条相交的直线分别与平面ABC平行即可．(2)先证BC⊥平面SAB，再利用线面垂直的性质即可证B