2018版高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.7 柱、锥、台和球的体积学案 新人教b版必修2

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1、1．1.7　柱、锥、台和球的体积学习目标　1.理解祖暅原理的内容.2.了解柱、锥、台体的体积公式的推导.3.掌握柱、锥、台和球的体积公式．知识点一　祖暅原理思考　取一摞纸张堆放在桌面上(如图所示)，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？从这个事实中你得到什么启发？　　梳理　祖暅原理的含义及应用(1)内容：幂势既同，则积不容异．(2)含义：夹在________________的两个几何体，被平行于这两个平面的________________所截，如果截得的____________________，那么这两

2、个几何体的体积相等．(3)应用：____________的两个柱体或锥体的体积相等．知识点二　柱、锥、台、球的体积公式思考　已知直四棱柱A1B1C1D1－ABCD，底面ABCD为矩形．AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则四棱柱A1B1C1D1－ABCD与三棱锥A1－ABCD的体积分别为多少？　　梳理　柱、锥、台、球的体积公式名称体积(V)柱体棱柱圆柱锥体棱锥圆锥台体棱台圆台球其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面的半径，R表示球的半径．类型一　柱体、锥体、台体的体积例1　一空间几何体的

3、三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)A．2π＋2B．4π＋2C．2π＋D．4π＋反思与感悟　(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．(2)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．跟踪训练1　(1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．　　类型二

4、　球的体积例2　(1)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器厚度，则球的体积为(　　)A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为________．反思与感悟　(1)求球的体积，关键是求球的半径R.(2)球与其他几何体组合的问题，往往需要作截面来解决，所作的截面尽可能过球心、切点、接点等．跟踪训练2　(1)一平面截一球得到直径为2cm的圆

5、面，球心到这个平面的距离是2cm，则该球的体积是(　　)A．12πcm3B．36πcm3C．64πcm3D．108πcm3(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)A．πa2B.πa2C.πa2D．5πa2类型三　几何体体积的求法例3　如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________．反思与感悟　(1)利用转换底面以便于找到几何体的高，从而求出几何体的体积．(2)利用等体积法可求点到平面的距离．跟

6、踪训练3　如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d.　　　　　　例4　如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．　　　　反思与感悟　当一个几何体的形状不规则时，无法直接运用体积公式求解，这时一般通过分割与补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积．跟踪训练4　如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，

7、求该几何体的体积．　　　　1.已知高为3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1—ABC的体积为(　　)A.B.C.D.2．一个球的表面积是16π，则它的体积是(　　)A．64πB.C．32πD.π3．现有一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降(　　)A．0.6cmB．0.15cmC．1.2cmD．0.3cm4．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥

8、的体积是(　　)A.B.C．64πD．128π5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．1．计算柱体、锥体和台体的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．旋转体的轴截面是用过旋转轴的平面去截旋转体而得到的截面．例如，圆柱的轴截面是矩