2017-2018学年高中数学 课时作业8 1.6 垂直关系 北师大版必修2

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1、课时作业8　直线与平面垂直的判定

2、基础巩固

3、(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知直线l⊥α，α∥β，则(　　)A．l∥β　B．lβC．l⊥βD．以上均有可能解析：由于α∥β，则平面β内存在两条相交直线m，n分别平行于平面α内两条相交直线a，b，又l⊥α，则l⊥a，l⊥b，所以l⊥m，l⊥n，所以l⊥β.答案：C2．已知直线a、b和平面α，下列推理中错误的是(　　)A.⇒a⊥bB.⇒b⊥αC.⇒a∥α或aαD.⇒a∥b解析：当a∥α，b∥α时，a与b可能平行，也可能相交或异面，即D推理错误．故选D.答案：D3．ABCD

4、－A1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是(　　)A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．AC1⊥BD1解析：正方体中BD∥B1D1，可知选项A正确；由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1；从而BD⊥AC1，即选项B正确；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，因此AC1⊥平面CB1D1，即选项C正确；由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．选D.答案：D4．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论中错误的个数是(　　)①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC

5、1⊥平面CB1D1.A．0个B．1个C．2个D．3个解析：由于BD∥B1D1，故①正确；由于BD⊥AC，BD⊥CC1，故BD⊥平面ACC1，故BD⊥AC1，故②正确；同理AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故AC1⊥平面CB1D1，故①②③全正确．选A.答案：A5．(2017·淮安一中月考)在四面体P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝CA，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，下列结论中不成立的是(　　)A．BC∥平面PDFB．BC⊥平面PAEC．DF⊥平面PAED．AE⊥平面APC解析：因为D，F分别为AB，AC的中点，所以DF∥B

6、C，故BC∥平面PDF，故A项正确．又AB＝AC，PB＝PC，E为BC的中点，所以AE⊥BC，PE⊥BC，所以BC⊥平面PAE，又DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，故B、C项正确．由于AE与AP不垂直(否则，等腰三角形PAE将有两个直角)，故AE与平面APC不垂直．选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．在三棱锥P－ABC中，最多有________个直角三角形．解析：不妨设PA⊥AB，PA⊥AC，则△APB，△PAC为直角三角形，由线面垂直的判定定理，可得PA⊥面ABC，由线面垂直的定义，可知PA⊥BC，若∠ABC＝90°，则BC

7、⊥AB，∴BC⊥面PAB，即∠PBC＝90°，∴△ABC，△PBC为直角三角形，故直角三角形最多有4个．答案：47．有下列四种说法，正确的序号是________．①过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直；②已知两条不重合的直线m，n和平面α，若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③a，b，l表示三条不同的直线，α表示平面，若aα，bα，l⊥a，l⊥b，则l⊥α；④若直线a不平行于平面α，则直线a垂直于平面α.解析：①正确；对于②，若直线nα，也可满足m⊥n，m⊥α，此时n∥α不正确；对于③，只有a，b相交时，才成立，否则不成立；④显然错误，因为不平行

8、时可以相交，而垂直只是相交的一种特殊情况．故只有①正确．答案：①8．已知点O为三棱锥P－ABC的顶点P在平面ABC内的射影，若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的________心；若PA⊥BC，PB⊥AC，则O为△ABC的________心；若P到三边AB，BC，CA的距离都相等且点O在△ABC的内部，则O为△ABC的________心．解析：因为PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，O是△ABC的外心；若PA⊥BC，又PO⊥平面ABC，所以BC⊥PO.所以BC⊥平面PAO.所以BC⊥AO.同理AC⊥OB.所以O是△ABC的垂心．若P到AB

9、，BC边的距离相等，则易知O到AB，BC边的距离也相等，从而可判定O是△ABC的内心．答案：外　垂　内三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图，在四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.求证：SD⊥平面SAB.证明：∵AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，∴底面ABCD为直角梯形，AD＝＝.∵侧面SAB为等边三角形，∴SA＝SB＝AB＝2.又SD＝1，∴AD2＝SA2＋SD2，∴SD⊥SA.连接BD，则BD＝＝，∴BD2＝SD2＋SB2，∴SD⊥SB.又SA∩SB＝

10、S，∴SD⊥平面SAB.10．S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥