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《2017-2018学年高中数学 第四章 圆与方程 4.2.1 直线与圆的位置关系学业分层测评（含解析）新人教a版必修2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、4.2.1直线与圆的位置关系(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )A．相离 B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心【解析】 易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．【答案】 C2．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是A(1,2)，则直线PQ的方程是( )A．x＋2y－3＝0B．x＋2y－5＝0C．2x－y＋4＝0D．2x－y＝0【解析】 结合圆的几何性质知直线PQ过点A(1,2)，且和直线OA垂直，
2、故其方程为：y－2＝－(x－1)，整理得x＋2y－5＝0.【答案】 B3．圆心为(3,0)且与直线x＋y＝0相切的圆的方程为( )A．(x－)2＋y2＝1B．(x－3)2＋y2＝3C．(x－)2＋y2＝3D．(x－3)2＋y2＝9【解析】 由题意知所求圆的半径r＝＝，故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝3，故选B.【答案】 B4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )A．－1或B．1或3C．－2或6D．0或4【解析】 由弦长公式l＝2，可知圆心到直线的距离d＝，即＝，解得a＝0或4.【答案】
3、D5．圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n＝( )A．10－2B．5－C．10－3D．5－【解析】 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，圆心(2，－3)到(－1,0)的距离为＝3<5.∴最大弦长为直径，即m＝10，最小弦长为以(－1,0)为中点的弦，即n＝2＝2.∴m－n＝10－2.【答案】 A二、填空题6．直线x－y＝0与圆(x－2)2＋y2＝4交于点A、B，则
4、AB
5、＝________.【解析】 圆心到直线的距离d＝＝，半径r＝2，∴
6、AB
7、＝2＝2.【答案】 27．圆
8、x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点有________个.【解析】 圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，所以弦心距为d＝＝.又圆的半径为2，所以到直线x＋y＋1＝0的距离为的点有3个．【答案】 3三、解答题8．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且
9、AB
10、＝2时，求直线l的方程．【解】 将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方，得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为
11、2.(1)若直线l与圆C相切，则有＝2.解得a＝－.(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得解得a＝－7或a＝－1.故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.9．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：x－y＝4相切．(1)求圆O的方程；(2)若圆O上有两点M、N关于直线x＋2y＝0对称，且
12、MN
13、＝2，求直线MN的方程．【解】 (1)依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x－y＝4的距离，即r＝＝2.所以圆O的方程为x2＋y2＝4.(2)由题意，可设直线MN的方程为2x－y＋m＝0.则圆心O到直线MN的距
14、离d＝.由垂径分弦定理得：＋()2＝22，即m＝±.所以直线MN的方程为：2x－y＋＝0或2x－y－＝0.[能力提升]10．直线y＝x＋b与曲线x＝有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围是( )A．b＝B．－1＜b≤1或b＝－C．－1≤b≤1D．以上都不正确【解析】 如图，作半圆的切线l1和经过端点A，B的直线l3，l2，由图可知，当直线y＝x＋b为直线l1或位于l2和l3之间(包括l3，不包括l2)时，满足题意．∵l1与半圆相切，∴b＝－；当直线y＝x＋b位于l2时，b＝－1；当直线y＝x＋b位于l3时，b＝1.∴b的取值范围是－1＜
15、b≤1或b＝－.【答案】 B11．已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.(1)m∈R时，证明l与C总相交；(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长．【解】 (1)证明：直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，由点斜式可知，直线过点P(4，－3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．(2)圆的方程可化为(x－3)2＋(y＋6)2＝25.如图，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短．此时PC⊥l，又kPC＝
16、＝3，所以直线l的斜率为－，则2m＝－，所以m＝－.在Rt△APC中，
17、PC
18、＝，
19、AC
20、＝r＝5.所以
21、AB
22、＝2＝2.故当m＝－时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为2.
