2018届高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第七节 抛物线学案 文

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1、1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．2．理解数形结合的思想．3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．知识点一　抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离______的点的轨迹叫做抛物线．答案相等1．判断正误(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是4.(　　)(3)若一抛物线过点P(－2,3)，其标准方程可写为y2＝2px(p>0)．(　　)答案：(1)×　(2)×　

2、(3)×2．(2016·浙江卷)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．解析：由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1，设点M的坐标为(x，y)，则x＋1＝10，所以x＝9.故M到y轴的距离是9.答案：9知识点二　抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈R____________y≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦点坐标______(－，0)(0，)_____

3、_准线方程x＝－____________y＝离心率e＝1焦半径

4、PF

5、＝x0＋

6、PF

7、＝________

8、PF

9、＝________

10、PF

11、＝－y0＋答案x≤0，y∈R　(，0)　(0，－)　x＝　y＝－　－x0＋　y0＋3．已知抛物线y＝x2，则它的焦点坐标是(　　)A.B.C.D.解析：抛物线的标准方程为x2＝y.∴2p＝，∴p＝.∴抛物线y＝x2的焦点坐标是.答案：D4．(选修1－1P63练习第1(1)题改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为______

12、________．解析：很明显点P在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上．当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p>0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－4)2＝－2p×(－2)，解得p＝4，此时抛物线的标准方程为y2＝－8x；当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2＝－2py(p>0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－2)2＝－2p×(－4)，解得p＝，此时抛物线的标准方程为x2＝－y.综上可知，抛物线的标准方程为y2＝－8x或x2＝－y.答案：y2＝－8x或x2＝－y5．(2

13、016·新课标全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　)A.B．1C.D．2解析：易知抛物线的焦点为F(1,0)，设P(xP，yP)，由PF⊥x轴可得xP＝1，代入抛物线方程得yP＝2(－2舍去)，把P(1,2)代入曲线y＝(k>0)得k＝2.答案：D热点一　抛物线的定义及应用【例1】　已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求

14、PA

15、＋

16、PF

17、的最小值，并求出取最小值时点P的坐标．【解】　将x＝3代入抛物线方程y2＝2x

18、，得y＝±.∵>2，∴A在抛物线内部，如图．设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知

19、PA

20、＋

21、PF

22、＝

23、PA

24、＋d，当PA⊥l时，

25、PA

26、＋d最小，最小值为，即

27、PA

28、＋

29、PF

30、的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2)．将本例中点A的坐标改为(3,4)，求

31、PA

32、＋

33、PF

34、的最小值．解：当P、A、F共线时，

35、PA

36、＋

37、PF

38、最小，

39、PA

40、＋

41、PF

42、≥

43、AF

44、＝＝＝.【总结反思】与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大

45、的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.(2017·邢台摸底)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则

46、MA

47、＋

48、MF

49、的最小值是________．解析：依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1，则有

50、MA

51、＋

52、MF

53、＝

54、MA

55、＋

56、MM1

57、，结合图形可知

58、MA

59、＋

60、MM1

61、的最小值等于圆心C(－1,5)到y＝－1的距离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5，因此

62、MA

63、

64、＋

65、MF

66、的最小值是5.答案：5热点二　抛物线的标准方程及几何性质【例2】　(1)(2017·泉州模拟)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若

67、BC

68、＝2

69、BF

70、，且

71、AF

72、＝3，则抛物线的方程为(　　)A．y2＝x　　　　B．y2＝3xC．y2＝x　　　　D．y2＝9x(2)若双曲线C：2x2－y2＝m(m