2018届高考数学一轮复习 第五章 数列 第二节 等差数列学案 文

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1、1.理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数的关系．知识点一　等差数列的定义如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的差等于__________，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的______，公差通常用字母d表示．数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数．答案2　同一个常数　公差1．判断正误(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)(2)等差数列的公差是相邻两项的差

2、．(　　)(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×知识点二　等差数列的通项公式与前n项和公式1．若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝____________.若等差数列{an}的第m项为am，则其第n项an可以表示为an＝____________.2．等差数列的前n项和公式Sn＝＝____________.(其中n∈N*，a1为首项，d为公差，an为第n项)答案1．a1＋(n－1)d　am＋(n－m)d2．na1＋d2．(必修⑤P39练习第5题改编)在等差数列{an}中，a2＝4

3、，a3＋a7＝20，则a8＝(　　)A．8B．12C．16D．24解析：因为数列{an}是等差数列，由等差数列的性质得：a2＋a8＝a3＋a7，又a2＝4，a3＋a7＝20，所以a8＝a3＋a7－a2＝20－4＝16.故选C.答案：C3．(2016·北京卷)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.解析：设等差数列{an}的公差为d，由已知得解得所以S6＝6a1＋×6×5d＝36＋15×(－2)＝6.答案：6热点一　　等差数列的基本运算【例1】　(1)(2016·新课标全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a

4、10＝8，则a100＝(　　)A．100B．99C．98D．97(2)(2016·江苏卷)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．【解析】　(1)设等差数列{an}的公差为d，因为{an}为等差数列，且S9＝9a5＝27，所以a5＝3.又a10＝8，解得5d＝a10－a5＝5，所以d＝1，所以a100＝a5＋95d＝98，选C.(2)设等差数列{an}的公差为d，则a1＋a＝a1＋(a1＋d)2＝－3，S5＝5a1＋10d＝10，解得a1＝－4，d＝3，则a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.【答案】　(1)C　

5、(2)20【总结反思】(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于(　　)A．－1B．1C．2D．－2(2)设等差数列{an}满足a5＝11，a12＝－3，其前n项和Sn的最大值为M，则lgM＝(　　)A．1B．－1C．2D．－2解析：(1)由S3＝3a2＝6，得a2＝2，又a3＝0，所以公差d＝－2.(2)由a5＝11，a12＝－3，得公差

6、d＝＝－2，所以an＝11＋(n－5)(－2)＝21－2n，所以a1＝19，故Sn＝19n＋×(－2)＝－n2＋20n＝－(n－10)2＋100≤100，所以M＝100，所以lgM＝2.答案：(1)D　(2)C热点二等差数列的判定与证明【例2】　已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．【解】　(1)证明：－＝＝，∴bn＋1－bn＝，∴{bn}是等差数列．(2)由(1)及b1＝＝＝1.知bn＝n＋，∴an－1＝，∴an＝.【总结反思】证明一个数列是否为等差

7、数列的基本方法有两种：一是定义法，证明an－an－1＝d(n≥2，d为常数)；二是等差中项法，证明2an＋1＝an＋an＋2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法.若数列{an}满足an＝2an－1＋2n＋1(n∈N*，n≥2)，a3＝27.(1)求a1，a2的值；(2)记bn＝(an＋t)(n∈N*)，是否存在一个实数t，使数列{bn}为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由．解：(1)由a3＝27,27＝2a2＋23＋1，得a2＝9，由9＝2a1＋22＋1，得a1＝2.(2)假设存在实