2020版高考数学一轮复习第五章数列第二节等差数列学案理（含解析）新人教A版

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1、第二节　等差数列2019考纲考题考情1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n∈N*，n≥2)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)。(2)等差中项若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝。2．等差数列的有关公式(1)等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d。(2)等差数列的前n项和公式设等差数列{a

2、n}的公差为d，其前n项和Sn＝na1＋d或Sn＝。3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)。(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an。(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d。(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列。(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列。(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列。(7)S2n－1＝(2n

3、－1)an。(8)若项数n为偶数，则S偶－S奇＝；若项数n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)。　1．用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”。2．等差数列的前n项和公式有两种表达形式，要根据题目给出的条件判断使用哪一种表达形式。3．等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d。若公差d>0，则为递增数列，若公差d<0，则为递减数列。(2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋d＝n2＋

4、n是关于n的二次函数且常数项为0。一、走进教材1．(必修5P38例1(1)改编)已知等差数列－8，－3,2，7，…，则该数列的第100项为________。解析　依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487。答案　4872．(必修5P46A组T5改编)已知等差数列5,4，3，…，则前n项和Sn＝________。解析　由题知公差d＝－，所以Sn＝na1＋d＝(75n－5n2)。答案　(75n－5n2)二、走近高考3．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和。若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)A．－12B．－10

5、C．10D．12解析　设等差数列{an}的公差为d，根据题中的条件可得3＝2×2＋d＋4×2＋·d，整理解得d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2－12＝－10。故选B。解析：设等差数列{an}的公差为d，因为3S3＝S2＋S4，所以3S3＝S3－a3＋S3＋a4，所以S3＝a4－a3，所以3a1＋d＝d，因为a1＝2，所以d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10。故选B。答案　B4．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和。若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)A．1B．2C．4D．8解析　设等差数列{an}的公差为d，依

6、题意得解得故选C。解析：由等差数列的性质得S6＝3(a3＋a4)＝48⇒a3＋a4＝16　①，又a4＋a5＝24　②，②－①得2d＝8，所以d＝4。故选C。答案　C三、走出误区微提醒：①错用公式致误；②求前n项和最值的方法不当致误；③错用性质致误。5．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)A．100B．99C．98D．97解析　设等差数列{an}的公差为d，由已知，得所以所以a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98。答案　C6．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为____

7、____。解析　由题意知d<0且即解得－1