反正切函数和反余切函数.doc

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1、反正切函数和反余切函数　一、素质教育目标(一)知识教学点1．反正切、反余切函数的定义，图象和性质．2．反正切、反余切函数的运算．(二)能力训练点1．理解反正切、反余切函数的定义，会根据图象得到它们的性质，进一步提高学生数形结合的能力．2．掌握反正切、反余切的三角运算以及正、余切函数的反正切、反余切运算，不断提高学生综合运用知识的能力．(三)德育渗透点通过反正切、反余切函数的学习，学生不难发现它们与反正弦、反余弦函数虽然不同，但研究的手法却完全相同并且某些性质很相似，为此教学过程要注意引导学生透过现象看本质，使学生懂得抓住事物的本质特征才能把握事物的发展趋势，不断提高学生认识能力，自觉接受

2、辩证唯物主义认识论的观点．二、教学重点、难点、疑点及解决办法1．教学重点：反正切、反余切函数的定义、图象及性质．2．教学难点：反正切、反余切函数定义．3．教学疑点：反正切、反余切函数与反正弦、反余弦有许多相类似的地方，但不相同，教学过程要注意引导学生加以区别．三、课时安排建议2个课时．四、教与学过程设计　第一课时　(一)复习引入师：前面我们学过反正弦函数及反余弦函数，大家知道为了使两个函数能得以建立，我们采取了控制自变量范围的办法使函数变为1对1家根据正、余切函数的特征，想一想应该分别控制x在哪些范围内进行研究较好？师：注意两个区间均为开区间，与反正弦和反余弦时不同．(二)新课师：下面请

3、同学们思考怎样给出反正切和反余切函数的定义(学生叙述，教师板书)．记作y=arctgx．余切函数y=ctgx(x∈(0，π))的反函数叫做反余切函数，记作y=arcctgx．师：请同学们考虑反正切、反余切函数的定义域和值域是什么？余切函数的定义域是(-∞，+∞)，值域是(0，π)．师：我们依然要从三个方面来理解反正切、反余切的定义，对于xarcctgx∈(0，π)．3°对应于它们的正切值和余切值分别都是x．根据反正切、反余切函数的定义，即它们意义中的3°我们可得两个基本关系式：tg(arctgx)=x，x∈(-∞，+∞)．ctg(arcctgx)=x，x∈(-∞，+∞)．例1　求下列各式

4、的值：师：请同学们根据反正切、反余切的意义来完成(请一位同学口答)．例2　求下列各式的值：师：根据该例题的解答，请同学们思考以下两个式子成立的条件是什么？①arctg(tgx)=x，②arcctg(ctgx)=x．练习：求arctg[tg(-2)](请一位同学板演．)∴　arctg[tg(-2)]=arctg[tg(π-2)]=π-2．例3　求函数y=ctgx，x∈(-π，0)的反函数．解：∵　-π＜x＜0，∴　0＜π+x＜π．又∵　ctg(π+x)=ctgx=y，∴　π+x=arcctgy．即　x=-π+arcctgy．∴　原函数的反函数为：y=-π+arcctgx　x∈R．师：本题采

5、用转化的手段将不在反余切函数值域范围内的角转化为其内的角，使问题得以解决，大家要善于使用这种方法．师：本题是证角相等的问题，前面我们已经接触过，请同学们回忆这类问题如何解决？生：1°　证两个角的某三角函数值相等．2°　证两个角同属于某三角函数的同一个单调区间．3°　根据三角函数的单调性断定它们相等．师：本题的两个未知角切在等号的一边，该如何处理？师：根据所出现的反三角函数应选取哪种三角函数证明？生：正切或余切．师：请同学们根据刚才的讨论自己完成证明(教师巡视，注意个别辅导)．(三)练习P．283中．练习1、3、4、5．(四)总结1．反正切、反余切的定义及含义(略)2．基本关系式：1°　t

6、g(arctgx)=x，x∈R；ctg(arcctgx)=x，x∈R．五、作业课本P．285-286习题十九9、10、12．六、板书设计　第二课时　一、教与学过程设计(一)复习师：前面我们已经学习了反正弦、反余弦，反正切、反余切函数的定义，我们把这四个函数统称为反三角函数．若用y=arc×x表示这些函数，请同学们说出它们的含义．生：1°　arc×x表示一个角，2°　这个角属于它的值域，3°　这个角的同一名称的三角函数值等于x．师：我们知道反三角函数中每一个函数都有两个基本关系式，试按上面的约定把它们表示出来．生：1°×(arc×x)=x，　x属于相应反函数的定义域．2°arc×(×x)=

7、x，　x属于相应反函数的值域．(以上表述教师要加以指点．)(二)引入师：今天我们要继续学习反正切、反余切函数的图象和性质，我们仍然从两个函数原函数的图象出发，利用互为反函数的函数图象之间的关系进行．(三)新课师：请同学们打开课本看P．281图4-6，4-7．记住反正切、反余切函数图象的位置和形状(让学生观察一会儿后，请一位同学来画草图，教师注意纠正)．生：师：要想画准它们的图象(图4-5，图4-6)，虚线一定要画，它们叫做渐近线．下