反正切函数和反余切函数一素质教育目标知识

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1、4．3　反正切函数和反余切函数一、素质教育目标(一)知识教学点1．反正切、反余切函数的定义，图象和性质．2．反正切、反余切函数的运算．(二)能力训练点1．理解反正切、反余切函数的定义，会根据图象得到它们的性质，进一步提高学生数形结合的能力．2．掌握反正切、反余切的三角运算以及正、余切函数的反正切、反余切运算，不断提高学生综合运用知识的能力．(三)德育渗透点通过反正切、反余切函数的学习，学生不难发现它们与反正弦、反余弦函数虽然不同，但研究的手法却完全相同并且某些性质很相似，为此教学过程要注意引导学生透过现象看

2、本质，使学生懂得抓住事物的本质特征才能把握事物的发展趋势，不断提高学生认识能力，自觉接受辩证唯物主义认识论的观点．二、教学重点、难点、疑点及解决办法1．教学重点：反正切、反余切函数的定义、图象及性质．2．教学难点：反正切、反余切函数定义．3．教学疑点：反正切、反余切函数与反正弦、反余弦有许多相类似的地方，但不相同，教学过程要注意引导学生加以区别．三、课时安排建议2个课时．四、教与学过程设计第一课时(一)复习引入师：前面我们学过反正弦函数及反余弦函数，大家知道为了使两个函数能得以建立，我们采取了控制自变量范围

3、的办法使函数变为1对1家根据正、余切函数的特征，想一想应该分别控制x在哪些范围内进行研究较好？师：注意两个区间均为开区间，与反正弦和反余弦时不同．(二)新课师：下面请同学们思考怎样给出反正切和反余切函数的定义(学生叙述，教师板书)．记作y=arctgx．余切函数y=ctgx(x∈(0，π))的反函数叫做反余切函数，记作y=arcctgx．师：请同学们考虑反正切、反余切函数的定义域和值域是什么？余切函数的定义域是(-∞，+∞)，值域是(0，π)．师：我们依然要从三个方面来理解反正切、反余切的定义，对于xarc

4、ctgx∈(0，π)．3°对应于它们的正切值和余切值分别都是x．根据反正切、反余切函数的定义，即它们意义中的3°我们可得两个基本关系式：tg(arctgx)=x，x∈(-∞，+∞)．ctg(arcctgx)=x，x∈(-∞，+∞)．例1　求下列各式的值：师：请同学们根据反正切、反余切的意义来完成(请一位同学口答)．例2　求下列各式的值：师：根据该例题的解答，请同学们思考以下两个式子成立的条件是什么？①arctg(tgx)=x，②arcctg(ctgx)=x．练习：求arctg[tg(-2)](请一位同学板演

5、．)∴arctg[tg(-2)]=arctg[tg(π-2)]=π-2．例3　求函数y=ctgx，x∈(-π，0)的反函数．解：∵　-π＜x＜0，∴　0＜π+x＜π．又∵ctg(π+x)=ctgx=y，∴　π+x=arcctgy．即x=-π+arcctgy．∴原函数的反函数为：y=-π+arcctgxx∈R．师：本题采用转化的手段将不在反余切函数值域范围内的角转化为其内的角，使问题得以解决，大家要善于使用这种方法．师：本题是证角相等的问题，前面我们已经接触过，请同学们回忆这类问题如何解决？生：1°　证两个角

6、的某三角函数值相等．2°　证两个角同属于某三角函数的同一个单调区间．3°　根据三角函数的单调性断定它们相等．师：本题的两个未知角切在等号的一边，该如何处理？师：根据所出现的反三角函数应选取哪种三角函数证明？生：正切或余切．师：请同学们根据刚才的讨论自己完成证明(教师巡视，注意个别辅导)．(三)练习P．283中．练习1、3、4、5．(四)总结1．反正切、反余切的定义及含义(略)2．基本关系式：1°tg(arctgx)=x，x∈R；ctg(arcctgx)=x，x∈R．五、作业课本P．285-286习题十九9、

7、10、12．六、板书设计第二课时一、教与学过程设计(一)复习师：前面我们已经学习了反正弦、反余弦，反正切、反余切函数的定义，我们把这四个函数统称为反三角函数．若用y=arc×x表示这些函数，请同学们说出它们的含义．生：1°arc×x表示一个角，2°　这个角属于它的值域，3°　这个角的同一名称的三角函数值等于x．师：我们知道反三角函数中每一个函数都有两个基本关系式，试按上面的约定把它们表示出来．生：1°×(arc×x)=x，　x属于相应反函数的定义域．2°arc×(×x)=x，　x属于相应反函数的值域．(以上

8、表述教师要加以指点．)(二)引入师：今天我们要继续学习反正切、反余切函数的图象和性质，我们仍然从两个函数原函数的图象出发，利用互为反函数的函数图象之间的关系进行．(三)新课师：请同学们打开课本看P．281图4-6，4-7．记住反正切、反余切函数图象的位置和形状(让学生观察一会儿后，请一位同学来画草图，教师注意纠正)．生：师：要想画准它们的图象(图4-5，图4-6)，虚线一定要画，它们叫做渐近线．下面我们根据图象易