（全国通用）2019届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何高考专题突破五学案

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1、高考专题突破五　高考中的圆锥曲线问题【考点自测】1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案　B解析　由y＝x，可得＝.①由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a2＋b2＝9.②由①②可得a2＝4，b2＝5.所以C的方程为－＝1.故选B.2．(2017·全国Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)A.B.C.D.答案　A解析　由题意知

2、，以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，∴＝，∴e＝＝＝＝＝.故选A.3．(2017·全国Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则

3、AB

4、＋

5、DE

6、的最小值为(　　)A．16B．14C．12D．10答案　A解析　因为F为y2＝4x的焦点，所以F(1,0)．由题意知直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，故直线l1，l2的方程分别为y＝k(x－1)，y＝－(x－1)．由得

7、k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.显然，该方程必有两个不等实根．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1，所以

8、AB

9、＝·

10、x1－x2

11、＝·＝·＝.同理可得

12、DE

13、＝4(1＋k2)．所以

14、AB

15、＋

16、DE

17、＝＋4(1＋k2)＝4＝8＋4≥8＋4×2＝16，当且仅当k2＝，即k＝±1时，取得等号．故选A.4．(2017·北京)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________.答案　2解析　由双曲线的标准方程知a＝1，b2＝m，c＝，故双曲线的离心率e＝＝＝，∴1＋m＝3，解得m＝2.5．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0

18、，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若

19、AF

20、＋

21、BF

22、＝4

23、OF

24、，则该双曲线的渐近线方程为________．答案　y＝±x解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，显然，方程必有两个不等实根．∴y1＋y2＝.又∵

25、AF

26、＋

27、BF

28、＝4

29、OF

30、，∴y1＋＋y2＋＝4×，即y1＋y2＝p，∴＝p，即＝，∴＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.题型一　求圆锥曲线的标准方程例1　(2018·佛山模拟)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若

31、BF2

32、＝

33、F1F2

34、＝2，则该椭圆的方程

35、为(　　)A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋y2＝1D.＋y2＝1答案　A解析　∵

36、BF2

37、＝

38、F1F2

39、＝2，∴a＝2c＝2，∴a＝2，c＝1，∴b＝，∴椭圆的方程为＋＝1.思维升华求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程．跟踪训练1　已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1D．x2－＝1答案　D解析　双曲线－＝1的一个焦点为F(2,0)，则a2＋b2＝4，①双曲线的渐近线方程为y＝±x，由题意得

40、＝，②联立①②解得b＝，a＝1，所求双曲线的方程为x2－＝1，故选D.题型二　圆锥曲线的几何性质例2　(1)(2018届辽宁凌源二中联考)已知圆E：(x－3)2＋(y＋m－4)2＝1(m∈R)，当m变化时，圆E上的点与原点O的最短距离是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率，则双曲线C的渐近线为(　　)A．y＝±2xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x答案　C解析　圆E的圆心到原点的距离d＝，由此可得，当m＝4时，圆E上的点与原点O的最短距离是dmin＝3－1＝2，即双曲线的离心率为e＝＝2，由此可得＝＝，双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±x＝±x.故选C.(2)

41、(2016·天津)设抛物线(t为参数，p>0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若

42、CF

43、＝2

44、AF

45、，且△ACE的面积为3，则p的值为________．答案　解析　由(p>0)消去t可得抛物线方程为y2＝2px(p>0)，∴F，又

46、CF

47、＝2

48、AF

49、且

50、CF

51、＝＝3p，∴

52、AB

53、＝

54、AF

55、＝p，可得A(p，p)．易知△AEB∽△FEC，∴＝＝，故S△ACE＝S△ACF＝×3p×p×＝p2＝3，∴p2＝