课标创新人教a版数学选修4-1 1.3 相似三角形的判定及性质

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1、第1课时　相似三角形的判定[核心必知]1．相似三角形知识的回顾(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)．(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn所构成的三角形与原三角形相似．2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹

2、角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．(3)判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．3．直角三角形相似的判定定理(1)定理：①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．(2)定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个

3、三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．[问题思考]1．两个三角形“相似”与两个三角形“全等”之间有什么关系？提示：两个三角形全等是两个三角形相似的一种特殊情况．相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，当两个相似三角形的相似比为1时，两个三角形全等．2．如果两个三角形的两边对应成比例，且有一角相等，那么这两个三角形相似吗？提示：不一定．只有当这个角是对应成比例的两边的夹角时，这两个三角形才相似．版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn　如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3cm，BC＝7cm，∠B＝60°，P为下底BC上一点(不

4、与B、C重合)，连接AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B.求证：△ABP∽△PCE.[精讲详析]　本题考查相似三角形判定定理1的应用．解答此题需要根据已知条件，寻找三角形相似的条件．因为∠B＝∠C，所以只需在△ABP与△PCE中再找到一组对应相等的角即可．∵AD∥BC，∴∠PAD＝∠APB.∵∠B＋∠BAD＝180°，∴∠BAP＋∠PAD＝120°.又∵∠APB＋∠CPE＝120°.版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn∴∠BAP＝∠CPE.又∵∠B＝∠C，∴△ABP∽△PCE.在相似三角形的判定中，应用最多的是判定定理1，因为它的条件最容易寻求，实际证明当中，要特

5、别注意两个三角形的公共角．判定定理2、3则常见于连续两次证明相似时，在第二次使用的情况较多．1.如图，已知：DE∥AB，EF∥BC.版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn求证：△DEF∽△ABC.证明：∵DE∥AB，∴＝＝.①又∵EF∥BC，∴＝＝.②∴＝.由①②知＝，而∠FOD＝∠COA，∴△FOD∽△COA.∴＝.∴在△ABC和△DEF中，有＝＝.∴△ABC∽△DEF.　如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，顶点D、C分别在AM、BN上运动(点版权所有:中国好课堂www.zghkt.cnD不与A重合、点C不与B重合)，E是AB边上的动点(点E不与A、B重合)，在运动过程中

6、始终保持DE⊥EC.求证：△ADE∽△BEC.[精讲详析]　本题考查直角三角形相似的判定方法．解答此题需要证明Rt△ADE和Rt△BEC中，除直角外有一组锐角对应相等．因为DE⊥EC，所以∠DEC＝90°.所以∠AED＋∠BEC＝90°.又因为∠A＝∠B＝90°，所以∠AED＋∠ADE＝90°.所以∠BEC＝∠ADE.版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn所以△ADE∽△BEC.(1)在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的应用．(2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．2．如图，BD、CE是△ABC的高．求证：△ADE∽△ABC.证明：∵BD

7、、CE是△ABC的高，∴∠AEC＝∠ADB＝90°.又∵∠A＝∠A，版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn∴△AEC∽△ADB，∴＝.又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.　如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于点P，交AC于点E.求证：BP2＝PE·PF.版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn[精讲详析]　本题考查相似三角形的判定及其应用，解答本题需要注意AD是等腰△ABC底边上的高，所以PB＝PC