2019版高考数学一轮复习第十一章坐标系与参数方程第67讲坐标系学案

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1、第67讲　坐标系考纲要求考情分析命题趋势1.理解坐标系的作用．2．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．3．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．4．能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2017·全国卷Ⅱ，222016·全国卷Ⅰ，232016·北京卷，11极坐标与直角坐标在高考中主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程.分值：5～10分1．

2、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系(1)极坐标系的概念①极坐标系：如图所示，在平面内取一个__定点__O，点O叫做极点，自极点O引一条__射线__Ox，Ox叫做极轴；再选定一个__长度单位__、一个__角度单位__(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．②极坐标：一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．③点与极坐标的关系：一般地，极

3、坐标(ρ，θ)与　(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)　表示同一个点，特别地，极点O的坐标为　(0，θ)(θ∈R)　，与直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有__无数__种表示．如果规定ρ>0,0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标__(ρ，θ)__表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．(2)极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为3．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆__ρ＝r(0≤θ＜2π)__圆心为(r,0)，半径为r的圆_

4、_ρ＝2rcosθ______圆心为，半径为r的圆__ρ＝2rsin_θ(0≤θ＜π)__过极点，倾斜角为α的直线__θ＝α(ρ∈R)__或__θ＝α＋π(ρ∈R)__过点(a,0)，与极轴垂直的直线__ρcosθ＝a______过点，与极轴平行的直线__ρsin_θ＝a(0＜θ＜π)__1．思维辨析(在括号内打“√”或打“×”)．(1)在伸缩变换下，直线仍然变成直线，圆仍然变成圆．(　×　)(2)在伸缩变换下，椭圆可变为圆，圆可变为椭圆．(　√　)(3)过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ＝α或θ＝π＋α.(　√　)(4)圆心在极轴

5、上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2asinθ.(　×　)2．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sinx的方程变为__y′＝3sin_2x′__.解析由知代入y＝sinx中得y′＝3sin2x′.3．点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为____.解析因为点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P的极坐标为.4．曲线ρ＝4sinθ与ρ＝2的交点坐标为__，__.解析由∴sinθ＝，∴θ＝或.5．在极坐标系中，曲线C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：

6、ρ＝a(a＞0)的一个交点在极轴上，则a＝____.解析曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝1，曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝a2，曲线C1与x轴的交点坐标为，此点也在曲线C2上，代入解得a＝.一　平面直角坐标系下图形的伸缩变换平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示，在伸缩变换作用下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．【例1】(1)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：求点A经过φ变换所得的点A′的坐标．(2)求直线l：y＝6x经过φ：变换后所得到的直线l′的方程．解析(1)

7、设A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：得到由于点A的坐标为，于是x′＝3×＝1，y′＝×(－2)＝－1，∴A′(1，－1)为所求．(2)设直线l′上任意一点P′(x′，y′)，由上述可知，将代入y＝6x得2y′＝6×，∴y′＝x′，即y＝x为所求．二　极坐标与直角坐标的互化极坐标方程与普通方程的互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方的技巧，将极坐标方程构造成含有ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρ＝cos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方

8、程．(3)将直角坐标方程中的x转化为ρcosθ，将y换成ρsinθ，即可得到其极坐标方程．【例2】在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的