2019版高考数学大一轮复习第十一章坐标系与参数方程第58讲参数方程优选学案.doc

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1、第58讲　参数方程考纲要求考情分析命题趋势1.了解参数方程，了解参数的意义．2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．2017·全国卷Ⅰ，222016·全国卷Ⅲ，232016·江苏卷，21(C)　参数方程部分主要考查参数方程与普通方程的互化，并且多与极坐标方程结合考查．分值：5～10分1．参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上__任意一点__的坐标x，y都是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称__

2、参数__，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做__普通方程__.2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．(2)圆心为点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．(3)①椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程为(φ为参数)；②椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程为(φ为参数)．1．思维辨析(在括号内“√”或“”)．(1)参数方程(t≥1)表示直线．(　×　)(2)参数方程当m为参数时表示直线，当θ为参数时表示的曲线为圆．(　√　)(3)直线(

3、t为参数)的倾斜角α为30°.(　√　)(4)参数方程表示的曲线为椭圆．(　×　)解析　(1)错误．∵t≥1，∴x＝t＋1≥2，y＝2－t≤1，故参数方程表示的曲线是直线的一部分．(2)正确．当m为参数时，x＋y＝cosθ＋sinθ表示直线，当θ为参数时(x－m)2＋(y＋m)2＝1表示圆．(3)正确．方程可化为表示直线其倾斜角为30°.(4)错误．∵θ∈，∴x≥0，y≥0，方程不表示椭圆．2．参数方程(t为参数)化为普通方程为__3x＋y－4＝0(x∈[0,2))__.解析　∵x＝，y＝＝＝4－3×＝4－3x，又x＝＝＝2

4、－∈[0,2)，∴x∈[0,2)，∴所求的普通方程为3x＋y－4＝0(x∈[0,2))．3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和(t为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为__(2,1)__.解析　由C1得x2＋y2＝5，且由C2得x＝1＋y，∴联立解得或(舍)．4．直线(t为参数)与圆(θ为参数)相切，则切线的倾斜角为__　或　__.解析　直线的普通方程为bx－ay－4b＝0，圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝3，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为，从而有＝，即3a2＋3b2＝4b2，所以

5、b＝±a，而直线的倾斜角α的正切值tanα＝，所以tanα＝±，因此切线的倾斜角为或.5．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝__　　__.解析　将曲线C1与C2的方程化为普通方程求解．将消去参数t，得2x＋y－3＝0，又消去参数θ，得＋＝1.根据题意可知C1与x轴交点在C2上，则在方程2x＋y－3＝0中，令y＝0，得x＝.将代入＋＝1，得＝1，又a>0，∴a＝.一　参数方程与普通方程的互化将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根

6、据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要出现增解．【例1】(1)将下列参数方程化为普通方程．①(t为参数)；②(θ为参数)．(2)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．解析　(1)①∵2＋2＝1，∴x2＋y2＝1.∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1.又x＝，∴x≠0.当t≥1时，0＜x≤1

7、，当t≤－1时，－1≤x＜0，∴所求普通方程为x2＋y2＝1，其中或②∵y＝－1＋cos2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，sin2θ＝x－2，∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0.∵0≤sin2θ≤1，∴2≤x≤3，∴所求的普通方程为2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．(2)圆的半径为，记圆心为C，连接CP，则∠PCx＝2θ，故xP＝＋cos2θ＝cos2θ，yP＝sin2θ＝sinθcosθ(θ为参数)．所以圆的参数方程为(θ为参数)．二　参数方程的应用(1)圆的参数方程(θ为参数)与直线的参数方程(t的参数)在外

8、观上没有区别，如何区分两者，主要看参数是什么．另外，圆的参数θ和直线的参数t是有几何意义的，只要我们理解准确，运用恰当，便可以加速解题的过程．因此，牢记圆的参数方程，直线参数方程的标准式，是利用参数解决问题的关键．(2)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程