第一章1.1.1一

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1、第一章　解三角形§1.1　正弦定理和余弦定理1．1.1　正弦定理(一)课时目标1．熟记正弦定理的内容；2．能够初步运用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC中，A＋B＋C＝π，＋＋＝.2．在Rt△ABC中，C＝，则＝sin_A，＝sin_B.3．一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝，这个比值是三角形外接圆的直径2R.一、选择题1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3

2、，则a∶b∶c等于(　　)A．1∶2∶3B．2∶3∶4C．3∶4∶5D．1∶∶2答案　D2．若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为(　　)A.＋1B．2＋1C．2D．2＋2答案　C解析　由正弦定理＝，得＝，∴b＝2.3．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC为(　　)A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形答案　A解析　sin2A＝sin2B＋sin2C⇔(2R)2sin2A＝(2R)2sin2B＋(2R)2sin2C，即a2＝b2＋c2，由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形．4．在△

3、ABC中，若sinA>sinB，则角A与角B的大小关系为(　　)A．A>BB．AsinB⇔2RsinA>2RsinB⇔a>b⇔A>B.5．在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝，则B等于(　　)A．45°或135°B．60°C．45°D．135°答案　C解析　由＝得sinB＝＝＝.∵a>b，∴A>B，B<60°∴B＝45°.6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于(　　)A．120°B．105°C．90°D．75°答案　A解析　∵c＝

4、a，∴sinC＝sinA＝sin(180°－30°－C)＝sin(30°＋C)＝，即sinC＝－cosC.∴tanC＝－.又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.二、填空题7．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则C＝_________.答案　75°解析　由正弦定理得＝，∴sinA＝.∵BC＝2

5、，c＝，C＝，则a＝________.答案　1解析　由正弦定理，得＝，∴sinB＝.∵C为钝角，∴B必为锐角，∴B＝，∴A＝.∴a＝b＝1.10．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝______.答案　30°解析　∵b＝2a∴sinB＝2sinA，又∵B＝A＋60°，∴sin(A＋60°)＝2sinA即sinAcos60°＋cosAsin60°＝2sinA，化简得：sinA＝cosA，∴tanA＝，∴A＝30°.三、解答题11．在△ABC中，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形．解　∵＝＝

6、，∴b＝＝＝＝4.∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c＝＝＝＝2＋2.12．在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝30°，解三角形．解　a＝2，b＝6，absinA，所以本题有两解，由正弦定理得：sinB＝＝＝，故B＝60°或120°.当B＝60°时，C＝90°，c＝＝4；当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2.所以B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2.能力提升13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若

7、a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为________．答案　解析　∵sinB＋cosB＝sin(＋B)＝.∴sin(＋B)＝1.又0

8、对角，求另一边和两角．2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无