第五章第一章第一章

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1、5.1．原函数与不定积分的概念一、原函数的概念和不定积分二、不定积分的性质一、原函数的概念和不定积分原函数存在定理定理：如果函数在区间内连续，那么在区间内它的原函数一定存在，即：存在，对一切的，均有。简言之：连续函数一定有原函数。如果有原函数，那么原函数的个数为无限多个。定义2在区间内，函数的带有任意常数项的原函数称为在区间内的不定积分，记作，即其中：称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量。不定积分的几何意义：。1、函数的一个原函数的图形叫做函数的一条积分曲线，其方程为2、不定积分的图形叫做

2、函数的积分曲线族，它们的方程为。3、由可知：在积分曲线族上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此平行。二、不定积分的性质由不定积分的定义可得以下性质：(1)由不定积分和微分的关系关系式：或或由此可见，微分运算(记号为)与不定积分运算(记号为)是互逆的。当记号合在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数。（2）运算性质性质1性质2(为非零常数)注意：要检查不定积分是否计算正确，只要对结果求导，看是否等于被积函数。小结：1原函数的概念和不定积分2、不定积分的性质微分与不定积分的可逆性：不定积分的线性运算(为非零常数

3、)5.2基本积分公式由基本微分公式可得基本积分公式(为常数)，()，，，，，，，，，，，.这些基本公式是求不定积分的基础，应熟记．小结：应用不定积分的基本公式求不定积分常需对被积函数作变形，变形的主要原则将其拆分为若干个能够直接使用积分表的积分分别计算．5.3换元积分法用基本积分表中的公式和积分运算性质就无法计算。因此需要寻找新的积分方法．对应于复合函数的求导法则，可以得到相应的积分法则，通常称为换元积分法．一．第一类换元法二、第二类换元法一．第一类换元法定理1（第一类换元法）：这种方法称为凑微分法．（将公

4、式中的箭头作出动态效果）注意：换元积分法技巧性强，需要多作练习，不断归纳，积累经验，才能灵活运用．通过以上例题，可以归纳出如下一般凑微分形式：；；；；；；；　等等．二．第二类换元法由以上的讨论可以看出，当积分不易求得，而将它凑微分为的形式易于积分时，利用第一类换元法可以方便地求出积分．但有时问题正好相反，积分不易求出，但选择适当的变量代换，以、代入后将积分化为的形式反而易于积分．此时我们可通过这种代换来求积分．这种积分方法称为第二类换元法．定理2第二类换元法注意：利用第二类换元法求不定积分的关键在于选择适当

5、的变量代换．I注意：一般地说，当被积函数含有形如的根号时，可作代换，解出与，再将它们一起代入被积表达式，积分后回代原变量．．注意：1）两种方法结合使用。2）尽量使用第一换元法即凑微分法。本节得到的一些积分结果常作公式使用，我们将它们列在下面，作为对基本公式的补充．，，，，，，，，，，，．小结：1、第一类换元法2．第二类换元法(1)当被积函数含有形如的根号时，可作代换．(2)三角代换：被积函数含有作代换5.4分部积分法．分部积分公式　　　　　　总结:如果被积函数是两类基本初等函数的乘积，使用分部积分法时进入微

6、分号的顺序一般为：指数函数，三角函数，幂函数，反三角函数，对数函数。二、特殊情况1、用分部积分法计算．不过有时需要多次使用分部积分法．．2、用分部积分法计算，有些还会出现与原不定积分同类的项,需经移项合并后方能完成求解。例7求1）．2）解1）因为：所以：．2）因为：所以：3、用分部积分法计算，有些还还要结合其他方法：变形、换元等。小结：1．对可微函数、，有分部积分公式：．当容易求出，且比易于积分时．利用分部积分公式易于计算．2．要记住适合使用分部积分法的常见题型及凑微分d的方式．如果被积函数是两类基本初等函

7、数的乘积，使用分部积分法时进入微分号的顺序一般为：指数函数，三角函数，幂函数，反三角函数，对数函数。5.5、微分方程初步一、微分方程的基本概念二、可分离变量的微分方程三、一阶线性微分方程一、微分方程的基本概念1、微分方程定义：含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。（5）．（6）未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程．相关概念：未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为这个方程的阶．．．2、微分方程解的定义：如果将已知函数代入方程后，能使其成为恒等式，则称

8、函数是方程的解．如（3）式即为方程（1）的解。3、微分方程通解的定义：若微分方程的解中所含(独立的)任意常数的个数与微分方程的阶数相等，则称这个解为方程的通解．如（3）式即为方程（1）的通解。在通解中确定了任意常数值的解，称为微分方程的特解．如（4）式即为方程（1）的特解。注意：一般地讲，微分方程通解的图形是一族曲线，这一族曲线称之为积分曲线。微分方程特解的图形是一条积分曲线。4、求微分方程满足某初始条件的解的问