（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习第八章解析几何第48讲曲线与方程优选学案

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1、第48讲　曲线与方程考纲要求考情分析命题趋势　了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2016·全国卷Ⅰ，20(1)2016·全国卷Ⅲ，20(2)2015·湖北卷，20(1)　求满足条件的动点轨迹及轨迹方程，用直接法和定义法较为普遍．分值：3～5分1．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是__这个方程__的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是__曲线上__的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．曲线可以看

2、作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．2．求曲线方程的基本步骤1．思维辨析(在括号内打“√”或“”)．(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(　√　)(2)方程x2＋xy＝x表示的曲线是一个点和一条直线．(　×　)(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(　×　)(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．(　×　)解析　(1)正确．由f(x0，y0)＝0可知点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上，又

3、P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上时，有f(x0，y0)＝0.所以f(x0，y0)＝0是P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(2)错误．方程变为x(x＋y－1)＝0，所以x＝0或x＋y－1＝0，故方程表示直线x＝0或直线x＋y－1＝0.(3)错误．当以两条互相垂直的直线为x轴，y轴时，是x2＝y2，否则不正确．(4)错误．因为方程y＝表示的曲线只是方程x＝y2表示的曲线的一部分，故其不正确．2．到点O(0,0)，A(c,0)距离的平方和为常数c(c≠0)的点的轨迹方程为__2x2＋2y2－2c

4、x＋c2－c＝0__.解析　设点的坐标为(x，y)，由题意知()2＋()2＝c，即x2＋y2＋(x－c)2＋y2＝c，即2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0.3．MA和MB分别是动点M(x，y)与两定点A(－1,0)和B(1,0)的连线，则使∠AMB为直角的动点M的轨迹方程是__x2＋y2＝1(x≠±1)__.解析　点M在以A，B为直径的圆上，但不能是A，B两点．4．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为__y2＝8x(x≠0)__.解析　＝，＝，由⊥，得·＝0，即2x＋·＝0，

5、即y2＝8x.若x＝0，则y＝0，则A，B，C三点都在x轴上，此时不存在A⊥.∴动点C的轨迹方程为y2＝8x(x≠0)．5．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是__　＋＝1(y≠0)　__.解析　设抛物线焦点为F，过A，B，O(O为坐标原点)作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则＋＝2＝4，由抛物线定义得＋＝＋，∴＋＝4，故点F的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．一　定义法求轨迹方程应用定义法求曲线方程的关键在于由

6、已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．【例1】已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程．解析　由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以＋＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞2＝.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长

7、半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．二　直接法求轨迹方程直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略(1)题中给出等量关系，求轨迹方程．直接代入即可得出方程．(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．【例2】已知定点A，B，且

8、AB

9、＝2a.如果动点P到点A的距离与到点B的距离之比为2∶1，求点P的轨迹．解析　取AB所在的直线为x轴，从A到B为正方向，以AB的中点O为原点，以AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)．设P(x

10、，y)，∵＝，即＝2，化简整理得3x2＋3y2－10ax＋3a2＝0，即2＋y2＝a2.动点P的轨迹是以C为圆心，a为半径的圆．三　相关点法求轨迹方程相关点法求轨迹方程的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)．(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式　(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．