(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习第八章解析几何第48讲曲线与方程优选学案

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1、第48讲 曲线与方程考纲要求考情分析命题趋势 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2016·全国卷Ⅰ,20(1)2016·全国卷Ⅲ,20(2)2015·湖北卷,20(1) 求满足条件的动点轨迹及轨迹方程,用直接法和定义法较为普遍.分值:3~5分1.曲线与方程一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系:(1)曲线上点的坐标都是__这个方程__的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是__曲线上__的点.那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线.曲线可以看

2、作是符合某条件的点的集合,也可看作是适合某种条件的点的轨迹,因此,此类问题也叫轨迹问题.2.求曲线方程的基本步骤1.思维辨析(在括号内打“√”或“”).(1)f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件.( √ )(2)方程x2+xy=x表示的曲线是一个点和一条直线.( × )(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2=y2.( × )(4)方程y=与x=y2表示同一曲线.( × )解析 (1)正确.由f(x0,y0)=0可知点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上,又

3、P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上时,有f(x0,y0)=0.所以f(x0,y0)=0是P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件.(2)错误.方程变为x(x+y-1)=0,所以x=0或x+y-1=0,故方程表示直线x=0或直线x+y-1=0.(3)错误.当以两条互相垂直的直线为x轴,y轴时,是x2=y2,否则不正确.(4)错误.因为方程y=表示的曲线只是方程x=y2表示的曲线的一部分,故其不正确.2.到点O(0,0),A(c,0)距离的平方和为常数c(c≠0)的点的轨迹方程为__2x2+2y2-2c

4、x+c2-c=0__.解析 设点的坐标为(x,y),由题意知()2+()2=c,即x2+y2+(x-c)2+y2=c,即2x2+2y2-2cx+c2-c=0.3.MA和MB分别是动点M(x,y)与两定点A(-1,0)和B(1,0)的连线,则使∠AMB为直角的动点M的轨迹方程是__x2+y2=1(x≠±1)__.解析 点M在以A,B为直径的圆上,但不能是A,B两点.4.平面上有三个点A(-2,y),B,C(x,y),若⊥,则动点C的轨迹方程为__y2=8x(x≠0)__.解析 =,=,由⊥,得·=0,即2x+·=0,

5、即y2=8x.若x=0,则y=0,则A,B,C三点都在x轴上,此时不存在A⊥.∴动点C的轨迹方程为y2=8x(x≠0).5.已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线焦点的轨迹方程是__ +=1(y≠0) __.解析 设抛物线焦点为F,过A,B,O(O为坐标原点)作准线的垂线AA1,BB1,OO1,则+=2=4,由抛物线定义得+=+,∴+=4,故点F的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).一 定义法求轨迹方程应用定义法求曲线方程的关键在于由

6、已知条件推出关于动点的等量关系式,由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线,再设出标准方程,用待定系数法求解.【例1】已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C,求C的方程.解析 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以+=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4>2=.由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长

7、半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为+=1(x≠-2).二 直接法求轨迹方程直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略(1)题中给出等量关系,求轨迹方程.直接代入即可得出方程.(2)题中未明确给出等量关系,求轨迹方程.可利用已知条件寻找等量关系,得出方程.【例2】已知定点A,B,且

8、AB

9、=2a.如果动点P到点A的距离与到点B的距离之比为2∶1,求点P的轨迹.解析 取AB所在的直线为x轴,从A到B为正方向,以AB的中点O为原点,以AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系,则A(-a,0),B(a,0).设P(x

10、,y),∵=,即=2,化简整理得3x2+3y2-10ax+3a2=0,即2+y2=a2.动点P的轨迹是以C为圆心,a为半径的圆.三 相关点法求轨迹方程相关点法求轨迹方程的基本步骤(1)设点:设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1).(2)求关系式:求出两个动点坐标之间的关系式 (3)代换:将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程.

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