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《(全国版)2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第2讲函数的单调性与最值学案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2讲 函数的单调性与最值板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 函数的单调性1.单调函数的定义2.单调性、单调区间的定义若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.考点2 函数的最值考点3 利用定义判断函数单调性的步骤1.任取……;2.作差……;3.化简;4.判断;5.结论.[必会结论]1.对勾函数y=x+(a>0)的增区间为(-∞,-]和[,+∞);减区间为[-,0)和(0,],且对勾函数为奇函数.2.设∀x1,x2∈D(x1≠x2),则①x1-x2>0(<0),f(x1)-
2、f(x2)>0(<0)⇔f(x)在D上单调递增;x1-x2>0(<0),f(x1)-f(x2)<0(>0)⇔f(x)在D上单调递减;②>0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增;③<0(或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减.[考点自测]1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( )(2)对于函数f(x),x∈D,若x1,x2∈D,且(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,则函数f(x)在D上是增函数.( )(3)函
3、数y=
4、x
5、是R上的增函数.( )(4)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.[课本改编]函数y=x2-6x+10在区间(2,4)上是( )A.递减函数B.递增函数C.先减后增D.先增后减答案 C解析 对称轴为x=3,函数在(2,3]上为减函数,在[3,4)上为增函数.3.[2018·陕西模拟]下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)·f(y)”的单调递增函数是( )A.f(x)=xB.f(x)=x3C.f(x)=xD.f(x)=3x答案 D解析 根据各选项知,选项C,D
6、中的指数函数满足f(x+y)=f(x)·f(y).又f(x)=3x是增函数,所以D正确.4.[课本改编]给定函数①y=x,②y=log(x+1),③y=
7、x-1
8、,④y=2x+1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是________.答案 ②③解析 ①y=x在(0,1)上递增;②∵t=x+1在(0,1)上递增,且0<<1,故y=log(x+1)在(0,1)上递减;③结合图象(图略)可知y=
9、x-1
10、在(0,1)上递减;④∵u=x+1在(0,1)上递增,且2>1,故y=2x+1在(0,1)上递增.故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.5.已知函数f(x)为(0
11、,+∞)上的增函数,若f(a2-a)>f(a+3),则实数a的取值范围为________.答案 (-3,-1)∪(3,+∞)解析 由已知可得解得-33.所以实数a的取值范围为(-3,-1)∪(3,+∞).板块二 典例探究·考向突破考向 确定函数的单调区间例 1 求下列函数的单调区间:(1)y=-x2+2
12、x
13、+1;(2)y=log(x2-3x+2).解 (1)由于y=即y=画出函数图象如图所示,单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞).(2)令u=x2-3x+2,则原函数可以看作y=logu与u=x2-3x+2的复
14、合函数.令u=x2-3x+2>0,则x<1或x>2.∴函数y=log(x2-3x+2)的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞).又∵u=x2-3x+2的对称轴x=,且开口向上,∴u=x2-3x+2在(-∞,1)上是单调减函数,在(2,+∞)上是单调增函数.而y=logu在(0,+∞)上是单调减函数,∴y=log(x2-3x+2)的单调递减区间为(2,+∞),单调递增区间为(-∞,1).触类旁通确定函数单调性的方法(1)定义法和导数法,证明函数单调性只能用定义法或导数法.(2)复合函数法,复合函数单调性的规律是“同增异减”.(3)图象法,图象不连续的单调区间不能用“∪”连接.【
15、变式训练1】 求出下列函数的单调区间:(1)f(x)=
16、x2-4x+3
17、;(2)f(x)=.解 (1)先作出函数y=x2-4x+3的图象,由于绝对值的作用,把x轴下方的部分翻折到上方,可得函数y=
18、x2-4x+3
19、的图象.如图所示.由图可知f(x)在(-∞,1]和[2,3]上为减函数,在[1,2]和[3,+∞)上为增函数,故f(x)的增区间为[1,2],[3,+∞),减区间为(-∞,1],[2,3].(2)∵3-2x-x2>0,∴-3