（全国版）2019版高考数学一轮复习第11章算法初步、复数、推理与证明第2讲数系的扩充与复数的引入学案

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1、第2讲　数系的扩充与复数的引入板块一　知识梳理·自主学习[必备知识]考点1　复数的有关概念1．复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0，b≠0，则a＋bi为纯虚数．2．复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．3．共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．4．复数的模向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作

2、z

3、或

4、a＋bi

5、，即

6、z

7、＝

8、a＋bi

9、＝r＝(r≥0，r∈R)．考点2　复数的几何意义考点3　复数的运算设z1＝a＋

10、bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则1．加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；2．减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；3．乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；4．除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．[必会结论]1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.2．－b＋ai＝i(a＋bi)．3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确

11、的打“√”，错误的打“×”)(1)方程x2＋1＝0没有解．(　　)(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)(3)复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数对应的向量的模．(　　)(4)已知复数z的共轭复数＝1＋2i，则z在复平面内对应的点位于第三象限．(　　)(5)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×2．[2017·全国卷Ⅲ]复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案　C解析　∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数z

12、＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．故选C.3．[2017·全国卷Ⅱ]＝(　　)A．1＋2iB．1－2iC．2＋iD．2－i答案　D解析　＝＝＝2－i.故选D.4．[2018·榆林模拟]设复数z＝－2＋i(i是虚数单位)，z的共轭复数为，则

13、(1＋z)·

14、等于(　　)A.B．2C．5D.答案　D解析　∵z＝－2＋i，∴＝－2－i，∴

15、(1＋z)·

16、＝

17、(1－2＋i)·(－2－i)

18、＝

19、3－i

20、＝＝，故选D.5．[2017·江苏高考]已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．答案　解析　∵z＝(1＋i)(1＋2i)＝

21、1＋2i＋i－2＝－1＋3i，∴

22、z

23、＝＝.

24、z

25、＝

26、1＋i

27、

28、1＋2i

29、＝×＝.6．[2018·湖北高中联考]已知复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则－z2的共轭复数是________．答案　1＋3i解析　－z2＝－(1＋i)2＝－2i＝1－i－2i＝1－3i，其共轭复数是1＋3i.板块二　典例探究·考向突破考向　复数的有关概念例　1　(1)[2017·全国卷Ⅰ]下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)A．i(1＋i)2B．i2(1－i)C．(1＋i)2D．i(1＋i)答案　C解析　A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．B项，i2(1－i)＝－(1－i

30、)＝－1＋i，不是纯虚数．C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数．D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.(2)[2017·天津高考]已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．答案　－2解析　∵a∈R，＝＝＝－i为实数，∴－＝0，∴a＝－2.触类旁通求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解．【变式训练1】　(1)若复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R

31、)是纯虚数，则的虚部为(　　)A．－B．－iC.D.i答案　A解析　由题意得所以a＝1，所以＝＝＝－i，根据虚部的概念，可得的虚部为－.故选A.(2)[2018·福州调研]已知m∈R，i为虚数单位，若>0，则m＝(　　)A．1B.C.D．－2答案　B解析　由已知得＝＝，由>0，可得1－2m＝0，则m＝，选B.考向　复数的几何意义例　2　(1)[2017·北京高考]若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞