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《全国各地数学模拟试卷新课标分章精编 数列解答题一》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、2009年全国各地数学模拟试卷（新课标）分章精编《数列》三、解答题1.已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….（1）令求证数列是等比数列;（2）求数列⑶设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由。解：（I）由已知得又是以为首项，以为公比的等比数列.（II）由（I）知，将以上各式相加得：（III）解法一：存在，使数列是等差数列.数列是等差数列的充要条件是、是常数即又当且仅当，即时，数列为等差数列.解法二：存在，使数列是等差数列.由（I）、（II）知，又当且
2、仅当时，数列是等差数列.2.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1，数列对任意正整数n，均有：成立，又。（Ⅰ）求数列的通项公式及前n项和；（Ⅱ）在数列中依次取出第1项，第2项，第4项，第8项，……，第项，……，组成一个新数列，求数列的前n项和；（Ⅲ）当时，比较与的大小。解：（I）设公比为代入得即∵，∴，∴∴是等差数列=2∴（Ⅱ）（3）时，时，猜测时，用数学归纳法证明如下（1）时，（已证）（2）假设时不等式成立，即时，又∴即时，不等式成立。由（1）（2）知，当时，3.已知数列的前项和和通项满足.（Ⅰ）求数列
3、的通项公式；(Ⅱ)求证：；（Ⅲ）设函数，，求.解：（Ⅰ）当时，∴，由得∴数列是首项、公比为的等比数列，∴(Ⅱ)证法1：由得，∴∴〔证法2：由（Ⅰ）知，∴，∴即(Ⅲ)＝＝∵∴＝4.已知等差数列的首项，公差，前项和为，，（1）求数列的通项公式；（2）求证：解：（1）等差数列中，公差（2）．5.如图，是曲线上的个点，点在轴的正半轴上，是正三角形(是坐标原点).(Ⅰ)写出；yxOA0P1P2P3A1A2A3(Ⅱ)求出点的横坐标关于的表达式；(Ⅲ)设，若对任意正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.解：(Ⅰ).(
4、Ⅱ)依题意，则，在正三角形中，有..，，①同理可得.②①-②并变形得，，.∴数列是以为首项，公差为的等差数列.，..(Ⅲ)解法1：∵，∴..∴当时，上式恒为负值，∴当时，，∴数列是递减数列.的最大值为.若对任意正整数，当时，不等式恒成立，则不等式在时恒成立，即不等式在时恒成立.设，则且，∴解之，得或，即的取值范围是.解法2：∵，设，则.当时，，在是增函数.∴数列是递减数列.的最大值为.6.已知数列{}的前项和,（Ⅰ）求数列的通项公式 ；（Ⅱ）设,且，求.解：（Ⅰ）∵Sn=n2+2n∴当时，当n=1时，a1=S
5、1=3，,满足上式，故（Ⅱ）∵,∴∴∴7.已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中为正实数.（1）用表示；（2）,若，试证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；（3）若数列的前项和，记数列的前项和，求。解：（1）由题可得，所以在曲线上点处的切线方程为，即令，得，即由题意得，所以（2）因为，所以即，所以数列为等比数列故（3）当时，当时，所以数列的通项公式为，故数列的通项公式为①①的②①②得故8.定义一种运算*，满足（为非零实常数）（1）对任意给定的k，设，求证数列是等差数列，并求k=2时，该数列的前10项
6、和；（2）对任意给定的n，设，求证数列是等比数列，并求出此时该数列前10项的和；（3）设，试求数列的前n项和.解：（1）∵，又∴所以，所以,所以数列是公差为的等差数列当时，，所以（2）∵，又∴故数列是公比为的等比数列当时，当时，（3）∵∴，而∴所以①当时，当时，②①－②得所以9.已知数列的前n项和为，且，（n=1，2，3…）数列中，，点在直线上。（1）求数列和的通项公式；（2）记，求满足的最大正整数n。解：（1）∵∴当时，即∵∴即数列是等比数列∵∴即∴∵点在直线上∴∴即数列是等差数列，又∴（2）①∴②①－②得
7、即∴∵即于是又由于当时，,当时，故满足条件最大的正整数n为410.在等差数列中，首项，数列满足（I）求数列的通项公式；（II）求解：（1）设等差数列的公差为d，，由，解得d=1.（2）由（1）得设，则两式相减得.11.已知等差数列的前项和为（1）求q的值；（2）若与的等差中项为18，满足，求数列的{}前项和.【解】(1)：当时，，当时,.是等差数列,,(2)解：,又,,又得.,,即是等比数列所以数列的前项和12.数列的前项和记为，，．（1）求数列的通项公式；（2）等差数列的前项和有最大值，且，又成等比数列，求
8、．解：（1）由，可得，两式相减得，又∴，故是首项为1，公比为3的等比数列，∴．（2）设的公差为，由得，于是，故可设，又，由题意可得，解得，∵等差数列的前项和有最大值，∴，∴．13.设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）令求数列的前项和．解：（1）由已知得解得．设数列的公比为，由，可得．又，可知，即，解得．由题意得．．故数列的通项为．（2）由于由
