弹性与塑性力学第23章习题答案_1

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1、第二章2.1（曾海斌）物体上某点的应力张量σij为σij=（应力单位）求出：（a）面积单位上应力矢量的大小，该面元上的法线矢量为n=（1/2，1/2，1/）；（b）应力主轴的方位；（c）主应力的大小；（d）八面体应力的大小；（e）最大剪应力的大小。解答：(a)利用式（2.26）计算应力矢量的分量i，得1=σ1jnj=σ11n1+σ12n2+σ13n3=0;同样2=jnj=272.473=σ3jnj=157.31所以，应力矢量的大小为[(1)2+(2)2+(3)2]1/2=314.62(b)(c)特征方程：σ3—I1σ2+I2σ—I3=0其中I1=σij

2、的对角项之和、I2=σij的对角项余子式之和、I3=σij的行列式。从一个三次方程的根的特征性可证明：I1=σ1+σ2+σ3I2=σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1I3=σ1σ2σ3其中得，σ1=400、σ2=σ3=0是特征方程的根。将σ1、σ2和σ3分别代入（2.43），并使用恒等式n12+n22+n32=1可决定对应于主应力每个值的单位法线ni的分量（n1、n2、n3）：ni（1）=（0，±0.866，±0.5）ni（2）=（0，0.5，±0.866）ni（3）=（±1，0，0）注意主方向2和3不是唯一的，可以选用与轴1正交的任何两个相互垂直的轴。(d）

3、由式（2.96），可算σotc=1/3（0+100+300）=133.3τotc=1/3(90000+40000+10000+6*30000)1/2=188.56(e)已经求得σ1=400、σ2=σ3=0，则有（2.91）给出的最大剪应力为τmax=2002.2（曾海斌）对于给定的应力张量σij，求出主应力以及它们相应的主方向。σij=（应力单位）（a）从给定的σij和从主应力值σ1，σ2和σ3中确定应力不变量I1，I2和I3；（b）求出偏应力张量Sij；（c）确定偏应力不变量J1，J2和J3；（d）求出八面体正应力与剪应力。解答：同上题2.1（a）（

4、b）（c）方法得到σ1=4、σ2=2、σ3=1对应于主应力每个值的单位法线ni的分量（n1、n2、n3）：ni（1）=（0，，±）ni（2）=（±，0.5，0.5）ni（3）=（±，±0.5，±0.5）（a）特征方程：σ3—I1σ2+I2σ—I3=0中I1=σij的对角项之和、I2=σij的对角项余子式之和、I3=σij的行列式。代入数据的：I1=7；I2=14；I3=8（b）偏应力张量由式子（2.119）得出Sij=σ12-pδij，其中p=7/3Sij=-(c)J1=Sii=0，J2=1/6[4+1+9]=2.333,J3=1/27(2*49+9*

5、7*14+27*8)=0.741(d)σotc=1/3*7=2.333τotc=/3(I12-3I2)1/2=1.2472.3（李云雷）（a）解释：如果（b）解释：可以为负值吗？（c）解释：可以为正值吗？解：（a）不能，因为所以不能等于0.（b）因为，所以不可能为负值。（c）可以，当中有一个正数，两个负数时为正值。2.7（金晶）证明以下关系（a）证明：（b）证明：（c）证明：(d)证明：2.9（梁健伟）证明：从一个给定的应力状态中加上静水应力，其主方向不改变。证明：设静水应力为，从主方向的定义有，从给定的应力状态中减去静水应力得，即：把等式右边的移项到

6、左边得所以从一个给定的应力状态中减去一个静水应力，其主方向不变。2.10（张东升）证明：通过在应力原始状态中加上静水拉力或压力，不改变作用于过某定点任何平面的剪应力分量。证明：关于主应力轴，任意平面上是用，，由式给出。现假设静水应力状态（）是被叠加上去，得一组主应力。对于这一新的应力状态，在任意斜截面上的剪应力分量由下式得出：由恒等式，将上式展开化简得。这表明，原结论成立。2.11（黄耀洪）画出例2.6中式（2.135）和式（2.136）中所给出的在主应力空间上的两个应力状态，并画出它们在偏平面上的投影。求的主应力，代入解得同理，解得的主应力在主应力空

7、间上的两个应力状态如下图所示：求的、同理，求得的、在偏平面上的投影如下图所示：2.12（李松）如果σijtjk=tijσjk,σij和tij为两点的两个应力状态，证明两个应力状态的主轴重合。注意不必将tij作为另一个应力张量——如第三章的应变张量一样，且主轴重合保持不变条件。（提示：将其中一种应力状态换到主坐标系上）证明：由题意得：σijtjk=tijσjk对i、j取1至3展开关系式得：σ11t1k+σ12t2k+σ13t3k=t11σ1k+t12σ2k+t13σ3k（1）σ21t1k+σ22t2k+σ23t3k=t21σ1k+t22σ2k+t23σ3

8、k（2）σ31t1k+σ32t2k+σ33t3k=t31σ1k+t32σ2k+t33σ3k（3