数论综合（一）

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1、年级六年级学科奥数版本通用版课程标题数论综合（一）编稿老师宋玲玲一校林卉二校黄楠审核高旭东谈到数论，顾名思义是和数有关的理论，具体地说是和整数有关的理论，小学奥数中的数论问题包括：整数的整除性，同余，奇数与偶数，质数与合数，约数与倍数，整数的分解与分拆等。作为一个理论性比较强的专题，数论在各种考试中都会占很大的比重，而且数论还和数字谜，不定方程等内容有着密切的联系，其重要性是不言而喻的。对整数a和b（b不为0），如果存在一个整数q，使a＝b×q，则a能被b整除，也可以说b整除a，否则就说a不能被b整除。例如：7

2、2＝8×9，所以72能被8（或9）整除。整除有许多性质，下面列出最常用的几个：1.如果b整除a，则b整除a的倍数；2.如果b整除a与c，则b整除（ac）；3.如果b整除a，a又整除c，则b一定能整除c；4.如果a整除c，b也整除c，并且a与b互质，则ab整除c。在整除问题中，能被2、3、4、5、7、8、9、11、13、25等数整除的数有如下特征：1.能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数必能被2整除；2.能被5整除的数的特征：个位是0或5；3.能被3（或9）整除的数的特征：各数位上的数字之和能

3、被3（或9）整除；4.能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除；5.能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除；6.能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（以大减小）是11的倍数；7.能被7（11或13）整除的数的特征：这个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除例1.一个五位数382□□，如果它是3和5的倍数，则□□里最大可以填几？【分析与解】这个五位数382□□能被5整除，则它的个位数字

4、是0或5；又因五位数382□□能被3整除，那么3＋8＋2＋□＋□的和能被3整除，即13＋□＋□的和能被3整除。（1）当这个五位数为382□0时，各位数字之和13＋□能被3整除，□里可填2、5、8；（2）当这个五位数为382□5时，各位数字之和18＋□能被3整除，□里可填0、3、6、9。第5页版权所有不得复制所以□里最大可以填95。例2.从0、3、4、8、9中选出3个数字，组成能被2、3、5同时整除的最大三位数是多少？【分析与解】要满足所求的三位数能同时被2、3、5整除，那么这个三位数的末位数字必须是0，同时各数

5、位上的数字和必须是3的倍数，那么问题就转化为从3、4、8、9这4个数字中选择两个数字，使其和是3的倍数。符合要求的组合有3和9、4和8，在它们可以组成的数字中，93是最大的。所以这个最大的三位数是930。例3.七位数能被792整除，且此数各数位上的数字互不相同，则a、b、c分别等于多少？【分析与解】因为七位数能被792整除，而792＝8×9×11，所以七位数能同时被8、9、11整除。（1）当七位数能被8整除时，它的末三位数必须能被8整除，即能被8整除，只有当c＝6时成立。（2）当七位数能被9整除时，1＋3＋a＋

6、b＋4＋5＋6＝19＋a＋b，即19＋a＋b能被9整除，因为0≤a＋b≤18，所以当a＋b＝8或17时成立。（3）当七位数能被11整除时，满足（1＋a＋4＋6）与（3＋b＋5）的差是11的倍数，即（a＋3）与b的差是11的倍数。当a＋3－b＝0时，结合a＋b＝8，无解；当a＋3－b＝0时，结合a＋b＝17，无解；当a＋3－b＝11时，结合a＋b＝8，得到a＝8，b＝0；当a＋3－b＝11时，结合a＋b＝17，无解。所以a＝8，b＝0，c＝6。例4.两个数的最大公因数是9，最小公倍数是243，这两个数分别是多少？

7、【分析与解】用243÷9＝27，根据短除式可知，27是短除式中除到最后两个互质关系的商的乘积，不妨将27表示为两个互质的数的乘积：27＝1×27，再将最大公因数9分别和1、27相乘，就得到所求的两个数，即1×9＝9，27×9＝243。所以这两个数分别是9和243。例5.第5页版权所有不得复制一个三位数能同时被2、5、7整除，这样的三位数按从小到大的顺序排成一列，中间的那个数是几？【分析与解】2、5、7的最小公倍数是2×5×7＝70，因为70的倍数也是2、5、7的公倍数，所以本题就转化为将符合70的倍数的三位数按

8、从小到大的顺序排成一列，求出中间的那个数。70的倍数中，最小的三位数是70×2＝140，最大的三位数是70×14＝980，而在70的2倍到14倍中，中间的数是70的8倍，即这个数是70×8＝560。例6.3个不同质数的倒数和为，求n等于多少？【分析与解】在计算分数加减法时，当分母互质的时候，要用分母相乘的积作为和的分母。已知1001是3个不同质数的倒数和的分母，说明这3个加数的分母是不