数论综合（三）

《数论综合（三）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、年级六年级学科奥数版本通用版课程标题数论综合（三）编稿老师范雯君一校张琦锋二校黄楠审核高旭东余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛、小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲知识对于同学们来说非常重要。余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理、乘法余数定理、同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b＝q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b，我们就称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：（1）当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商（

2、2）当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商二、同余的概念和性质同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b（modm）。（*）上式可读作：a同余于b，模m。同余式（*）意味着（我们假设a≥b）：a－b＝mk，k是整数，即m｜（a－b）例如：①15≡365（mod7），因为365－15＝350＝7×50。②56≡20（mod9），因为56－20＝36＝9×4。③90≡0（mod10），因为90－0＝90＝10×9。由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：a≡0（modm）。例如，表示a是一个偶数，可以写a≡0

3、（mod2）；表示b是一个奇数，可以写b≡1（mod2）。同余的性质：性质1：a≡a（modm）（反身性），这个性质很显然，因为a－a＝0＝m·0。性质2：若a≡b（modm），那么b≡a（modm）（对称性）。性质3：若a≡b（modm），b≡c（modm），那么a≡c（modm）（传递性）。性质4：若a≡b（modm），c≡d（modm），那么a±c≡b±d（modm）（可加减性）。性质5：若a≡b（modm），c≡d（modm），那么ac≡bd（modm）（可乘性）。性质6：若a≡b（modm），那么an≡bn（modm）（其中n为自然数）。第5页版权所有不得复制例1一个两位数除以7，

4、商和余数相同，这个两位数最小是多少？最大是多少？分析与解：根据除法中除数和余数的关系，我们知道，余数一定比除数小。在这个除法算式中，除数是7，那么余数最大是6。因为商和余数相同，所以当商取最大值6时，被除数取得最大值6×7＋6＝48。当商取最小值1时，被除数是1×7＋1＝8，不满足被除数是两位数的条件。所以商取2时，被除数取得最小值2×7＋2＝16，符合题意。所以，这个两位数最小是16，最大是48。例2求4500的约数的个数。分析与解：先将4500分解质因数，得到4500＝22×32×53，根据“一个合数的约数的个数等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加1的连乘的积”可以得到，4

5、500的约数的个数是（2＋1）×（2＋1）×（3＋1）＝36。所以4500有36个约数。例3所得积的末位数字是几？分析与解：我们先找一下数字乘积的规律。1×7的个位（末位）是7；7×7的个位是9；7×7×7的个位数字是3；7×7×7×7的个位数字是1；7×7×7×7×7的个位数字又是7，……我们发现每4个7相乘为一循环，所以50÷4＝12…2，那么50个7相乘的积的末位数字就是9。例4自然数a乘242恰好是自然数b的平方。求a的最小值。分析与解：因为242＝，要使一个最小的自然数a乘242后恰好是自然数b的平方，242只需再乘一个2，这样得到的积就是，也就是，满足自然数b平方的形式，所以a的

6、最小值是2。第5页版权所有不得复制例5用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？分析与解：假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以a

7、（412－133）、a

8、（412－257）、a

9、（257－133），说明a是以上3个数中任意两个数差的因数。要求a最大是几，就是求这3个差的最大公约数。412－133＝279，412－257＝155，257－133＝124，（279，155，124）＝31。所以这个自然数最大是31。例6某个自然数被247除余63，被248除余63，求这个自然数被26除的余数。分析与解：由题意可知，所求的自

10、然数减去63的差可被247、248整除，即这个差是247与248的公倍数。设所求的自然数减去63，差是a，则a可被247、248整除。再考虑a能否被26整除。26＝2×13，所以，如果一个数既是2的倍数，又是13的倍数，那么这个数就一定是26的倍数，所以问题就转化为研究a能否是2和13的倍数。分别将247和248分解质因数后发现247＝19×13，248＝2×124，由此可以得知a分别能被13和2整除，所以a