数学中考冲刺：代数综合问题--知识讲解（基础）

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1、精品中考冲刺：代数综合问题—知识讲解（基础）【中考展望】初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．【方法点拨】(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；(2

2、)认识综合题的结构是解综合题的前提；(3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；(4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心．*审题(读题、断句、找关键)；*先宏观(题型、知识块、方法)；后微观(具体条件，具体定理、公式)*由已知，想可知(联想知识)；由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合；*观察——挖掘题目结构特征；联想——联系相关知识网络；突破——抓往关键实现突破；寻求——学会寻求解题思路．(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证．【典型例题】类型一、方程与不等式综合1．已知方程组的解满足求a的取值范围．【

3、思路点拨】本题考查了含字母系数的方程解法及利用不等式组求字母的取值范围问题．【答案与解析】解：①×3－②×2得：y＝13a－4①×4－②×3得：x＝18a－5由题意令x＞0，y＞0得：∴.【总结升华】在解含字母系数的方程时要分清未知数和字母常数，这样才能更准确地对方程进行求解．精品2．m为何值时，是完全平方式？【思路点拨】本题直观考查完全平方式的特征，但是因为代数式的定性衍生出方程，不定性衍生出函数，所以完全平方式形式在方程和函数中又被赋予了独有的含义．因此，本题也可以看作是间接考查了对完全平方式不同角度的理解．【答

4、案与解析】解：解法1：待定系数法设原式＝[x-(m-2)]2＝x2-2(m-2)x+m2-4m+4所以m2+2m+l＝m2-4m+4，；解法2：配方法原式＝．＝[x-(m-2)]2+6m-3，6m-3＝0，；解法3：判别式法因为是完全平方式，所以方程有两等根，△＝[-2(m-2)]2－4(m2+2m+1)＝0，；解法4：因为是完全平方式，所以令，所以抛物线顶点在x轴上，，，，．【总结升华】对于代数式，可以考虑其为特殊值，将其看作方程，从方程的角度解决问题；也可以考虑其值不定，从函数的角度解决问题．解决问题的角度不同，

5、但结果是相同的．类型二、方程与函数综合3．请你根据下图中图象所提供的信息，解答下面问题：精品(1)分别写出，中变量y随x变化而变化的情况；(2)写出一个二元一次方程组，使它满足图象中的条件．【思路点拨】本题是一次函数与二元一次方程组的综合题．本题考查了一次函数的性质，两个一次函数图象的交点与方程组的解的关系．【答案与解析】解：(1)的值随x的增大而增大；的值随x的增大而减小．(2)设直线，的函数表达式分别为，，由题意得，．解得：，．∴直线，的函数表达式分别为，．∴所求的方程组为．【总结升华】利用函数及图象解决方程组的

6、解的问题，体现了数形结合的思想．举一反三：【高清课堂:代数综合问题例2】【变式】已知：如图，平行于x轴的直线y＝a(a≠0)与函数y＝x和函数精品的图象分别交于点A和点B，又有定点P(2，0)．(1)若a＞0，且，求线段AB的长；(2)在过A，B两点且顶点在直线y＝x上的抛物线中，已知线段，且在它的对称轴左边时，y随着x的增大而增大，求满足条件的抛物线的解析式；(3)已知经过A，B，P三点的抛物线，平移后能得到的图象，求点P到直线AB的距离．【答案】解：（1）设第一象限内的点B（m,n），则，得m=9n，又点B在函数

7、的图象上，得，所以m=3（－3舍去），点B为，而AB∥x轴，所以点A，所以．（2）由条件可知所求抛物线开口向下，设点A（a,a），B（），则,所以，解得.当a=－3时，点A（―3，―3），B，因为顶点在y=x上，所以顶点为，所以可设二次函数为，点A代入，解得,所以所求函数解析式为.同理，当时，所求函数解析式为；（3）设A（a,a），B（），由条件可知抛物线的对称轴为.设所求二次函数解析式为：.精品点A(a,a)代入，解得，，所以点P到直线AB的距离为3或[【高清课堂:代数综合问题例1】4．已知关于x的方程.（1）求证

8、:不论m为任何实数,此方程总有实数根；（2）若抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，试确定此抛物线的解析式；（3）若点P与Q在（2）中抛物线上(点P、Q不重合),且y1=y2,求代数式的值.【思路点拨】（1）分别讨论当m=0和m≠0的两种情况，分别对一元一次方程和一元二次方程的根进行判断；（2）令y=0，则 mx2+（3m+1）x+3=0