数的整除（一）

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1、年级五年级学科奥数版本通用版课程标题数的整除（一）编稿老师王刚一校林卉二校黄楠审核张舒在做整数除法的时候，如果能够除尽，我们称除数能整除被除数。比如21÷7＝3，那么7能整除21，或者说21能被7整除。用数学符号表示整除关系为：7

2、21小学阶段对整除的学习只限于整除的数字特征和整除的简单性质这两部分。一、自然数的末位能被2（或5）整除，那么这个自然数能被2（或5）整除。自然数的末两位能被4（或25）整除，那么这个自然数能被4（或25）整除。自然数的末三位能被8（或125）整除，那么这个自然数能被8

3、（或125）整除。（将一个自然数看做两个数的和，例如看3825能否被25整除，只需看3800和25是否分别能被25整除即可）以上性质可按照规律写出无数条。二、自然数的数字和能被3（或9）整除，那么这个自然数能被3（或9）整除。（例如看abcdef能否被3或9整除，可将abcdef进行变形，abcdef＝100000a＋10000b＋1000c＋100d＋10e＋f＝99999a＋a＋9999b＋b＋999c＋c＋99d＋d＋9e＋e＋f＝（99999a＋9999b＋999c＋99d＋9e）＋（a＋

4、b＋c＋d＋e＋f），所以看abcdef能否被3或9整除，只需看后一项（a＋b＋c＋d＋e＋f）能否被3或9整除即可）三、自然数划掉末三位，再减去被划掉的末三位得到的差（大数减小数）能被7或11或13整除，那么这个自然数能被7或11或13整除。（例如看abcdef能否被7或11或13整除，设def＝A，abc＝B，则abcdef＝1000B＋A＝1000B＋B＋A－B＝1001B＋A－B＝7×11×13＋A－B）例1八位数2（）0（）1（）1（）能被3和4整除，在四个括号中填入满足条件的相同数字。

5、分析与解：能被4整除，那么末两位能被4整除。个位只能是2或6。能被3整除，那么数字和是3的倍数。22021212符合条件，26061616不符合条件。所以应该在所有括号中填入2。第4页版权所有不得复制例2用1、2、3、…、9组成3个三位数，每个数都能被４整除，要求9个数字都用到，那么最小的一个数是多少？分析与解：这三个数都能被４整除，所以末两位都能被4整除。被4整除的两位数如果十位是奇数，个位就是2、6；如果十位是偶数，个位就是4、8。而本题中偶数只有4个，所以这三个数中只能有两个分别以2、6结尾

6、，另外一个以84或48结尾。只剩下数字1、3、5、7、9，那么最小的一个数是132。例32mn011是一个六位数，且能被99整除，求这个六位数。分析与解：99＝11×9。这个六位数能被99整除，即能被11整除，又能被9整除。所以2＋m＋n＋1＋1能被9整除（能被9整除的数的特征）。对于一个六位数abcdef，可以将它写成100000a＋10000b＋1000c＋100d＋10e＋f，100000a＋10000b＋1000c＋100d＋10e＋f＝（100001－1）a＋（9999＋1）b＋（100

7、1－1）c＋（99＋1）d＋（11－1）e＋f＝（100001a＋9999b＋1001c＋99d＋11e）＋（－a＋b－c＋d－e＋f）＝（11×9091a＋11×909b＋11×91c＋11×9d＋11e）＋（－a＋b－c＋d－e＋f）＝11×（9091a＋909b＋91c＋9d＋e）＋（－a＋b－c＋d－e＋f）到这里已经能看出，前面一大项是一个能被11整除的数，所以只要看后面的（－a＋b－c＋d－e＋f）能否被11整除就可以了。能被11整除的数的特征：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与

8、偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差能被11整除（包括0），那么原数就一定能被11整除。此题根据该数的特征可知b＋d＋f＝a＋c＋e，所以有m－n＝2，再结合m＋n＝5或m＋n＝14，可得m＝8，n＝6。所以这个数为286011。例4一个五位数恰好等于它数字和的2007倍，求这个五位数。分析与解：这个五位数能被2007整除，一定能被9整除，数字和一定能被9整除。所以数字和可能是9、18、27、36、45、54……9×2007＝18063（数字和为18，不是9）；18×2007＝3612

9、6（数字和为18）；27×2007＝54189（数字和为27）；36×2007＝72252（数字和为18，不是36）；45×2007＝90315（数字和为18，不是45）；54×2007＝108378（不是五位数）满足该五位数恰好等于它数字和的2007倍的数为36126、54189。第4页版权所有不得复制例5777777777（）444444444能被13整除，括号里应该填哪个数字？分析与解：因为13

10、1001，1001

11、111111，所以13

12、111111，13

13、444444，1