第五章 第二节 等差数列及其前n项和.doc

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1、第五章第二节等差数列及其前n项和一、选择题1．(2011·江西高考){an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝(　　)A．18　　　　　　　　　　B．20C．22D．24解析：由S10＝S11得a11＝S11－S10＝0，a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.答案：B2．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，若{}为等差数列，则a11＝(　　)A．0B.C.D．2解析：由已知可得＝，＝是等差数列{}的第3项和第7项，其公差d＝＝，由此可得＝＋(11－7)d＝＋4×＝，解之得a

2、11＝.答案：B3．若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是(　　)A．公差为3的等差数列B．公差为4的等差数列C．公差为6的等差数列D．公差为9的等差数列解析：本题考查了定义法求等差数列的基本量．法一：设数列{an}的公差为d，则由题意知，d＝1.设cn＝a2n－1＋2a2n，则由上式得cn＋1＝a2n＋1＋2a2n＋2，cn＋1－cn＝a2n＋1＋2a2n＋2－a2n－1－2a2n＝6d＝6.法二：利用特殊数列．令an＝n，则cn＝a2n－1＋2a2n＝2n－1＋2×2n＝6n－1，∴cn－cn－1＝6.答案：C

3、4．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差为(　　)A．－2B．－3C．－4D．－6解析：设an＝23＋(n－1)d，则即解得－40，S11<0，若Sn≤Sk对n∈N*恒成立，则正整数k的取值为(　　)A．5B．6C．4D．7解析：由S10>0，S11<0知a1>0，d<0，并且a1＋a11<0，即a6<0，又a5＋a6>0，所以a5>0，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S

4、5最大，则k＝5.答案：A二、填空题6．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，则k＝________.解析：a7－a5＝2d＝4，d＝2，a1＝a11－10d＝21－20＝1，Sk＝k＋×2＝k2＝9.又k∈N*，故k＝3.答案：37．设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为__________．解析：∵{an}，{bn}为等差数列，∴＋＝＋＝＝＝.∵＝＝＝＝，∴＝.答案：三、解答题8．已知等差数列{an}的前三项为a－1,4,2a，记前n

5、项和为Sn.(1)设Sk＝2550，求a和k的值；(2)设bn＝，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值．解：(1)由已知得a1＝a－1，a2＝4，a3＝2a，又a1＋a3＝2a2，∴(a－1)＋2a＝8，即a＝3.∴a1＝2，公差d＝a2－a1＝2.由Sk＝ka1＋d，得2k＋×2＝2550，即k2＋k－2550＝0，解得k＝50或k＝－51(舍去)．∴a＝3，k＝50.(2)由Sn＝na1＋d得Sn＝2n＋×2＝n2＋n.∴bn＝＝n＋1，∴{bn}是等差数列，则b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝(3＋1)＋(7＋1)＋(11＋

6、1)＋…＋(4n－1＋1)＝.∴b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝2n2＋2n.9．已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4.(1)求证{an}为等差数列；(2)求{an}的通项公式．解：(1)证明：当n＝1时，有2a1＝a＋1－4，即a－2a1－3＝0，解得a1＝3(a1＝－1舍去)．当n≥2时，有2Sn－1＝a＋n－5，又2Sn＝a＋n－4，两式相减得2an＝a－a＋1，即a－2an＋1＝a，也即(an－1)2＝a，因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1.若an－1＝－an－1，则an＋an－

7、1＝1，而a1＝3，所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数相矛盾，所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1，因此{an}为等差数列．(2)由(1)知a1＝3，d＝1，所以数列{an}的通项公式an＝3＋(n－1)＝n＋2，即an＝n＋2.10．设等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数，前n项和为Sn，(1)若a11＝0，S14＝98，求数列{an}的通项公式；(2)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列{an}的通项公式．解：(1)由S14＝98得2a1＋13d＝14，又a11＝a1＋10d＝0，故解得d

8、＝－2，a1＝20.因此{an}的通项公式是an＝22－2n.(2)由得即由①＋②得－7d＜11，即d＞－.由①＋③得13d≤－1即d≤－.于是－＜d≤－.又d∈Z，故d＝－1.代入①②得10