第三章 有界线性算子.doc

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1、第三章有界线性算子一有界线性算子与有界线性泛函1定义与例设是赋范空间，是中线性子空间上到中的映射，满足条件：对于任意，称是中到中的线性算子。称是的定义域。特别地，称赋范空间上到数域中的线性算子为线性泛函，并且它们是到实数域或复数域分别称为实线性泛函与复线性泛函。如果一个线性泛函是有界的，即称为有界线性泛函。此外取算子范数作为空间中的范数。定理1.1设是赋范空间，是上到中的线性算子，如果在某一点连续，则是连续的。定理1.2设是赋范空间，是上到中的线性算子，则是连续的，当且仅当，是有界的。2有界线性算子空间设是赋范空间，用表示所有上到

2、中的有界线性算子全体。在中可以自然地定义线性运算，即对于任意及，定义不难到，两个有界线性算子相加及数乘一个有界线性算子仍有界线性算子。此个取算子范数作为空间的范数，具体见。由此可知，是一个赋范线性空间，如果，把简记为。在空间中按范数收敛等价于算子列在中的单位球面上一致收敛。事实上，设及。如果，则对任意，存在，当时，对于每一个=。即在上一致收敛于。反之，如果在上一致收敛于，则对任意，存在，当时，对于每一个：于是：=。即在上一致收敛于。定理1.3设是赋范空间，是空间，则是空间。在空间中还有另一种收敛方式。设，如果对于每一称逐点收敛于或

3、强收敛于。二定理及其某些应用定理2.1()设()是空间上到赋范空间中的有界线性算子族，如果对于每一，<，则是有界集。定理2.2设是赋范空间上到空间中的有界线性算子列。如果1)有界；2)对于一个稠密子集中的元，收敛，则强收敛于一个有界线性算子，并且。定理2.3设是空间，则有界线性算子空间在强收敛意义下完备。例子就见第82页例1、例2。三开映射定理与闭图像定理1逆算子设是赋范空间，，。这时可以定义算子的乘法，由于===类似地及所以是有界线性算子，并且。(1)不难证明，算子乘法满足结合律和分配律，但是注意算子乘法不满足交换律。设是从线性

4、空间上映到线性空间中的恒等算子。如果存在一个上到中的线性算子，使得，(2)则称算子有逆算子。，分别为空间及中的恒等算子。算子称为的逆算子，并记为。定理3.1设是赋范空间上到赋范空间上的线性算子且存在常数，使得(4)则有有界逆算子定理3.2设是空间中，如果，如果，则算子有有界逆算子，并且。2线性算子的谱定义设是空间上的有界线性算子，如果算子存在且定义在全空间上，则称数为算子的正则值，此时称为算子的预解式。称所有其他的值为算子的谱点，算子的谱点全体算子的谱，记为。定理3.3设是空间，。则是有界闭集。3开映射定理定理3.4(开映射定理)

5、设是空间上到空间上的有界线性算子，则是一个开映射。定理3.5(逆算子定理)设是空间上到空间上的一对一的有界线性算子，则的逆算子是有界算子。4闭图像定理设是赋范空间，是中到中的线性算子，乘积赋范空间，记称为算子的图像。如果是乘积赋范空间中的闭集，则称是闭算子。定理3.6设是赋范空间，是中到中的线性算子，则是闭算子，当且仅当，对任意，及()，这里，。此时必有并且。定理3.7(闭图像定理)设是空间上到空间中的闭线性算子，则是有界线性算子。