中考数学专题：图形位置关系.doc

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1、中考数学专题：图形位置关系中考数学专题2图形位置关系第一部分真题精讲【例1】已知：如图，AB为⊙的直径，⊙过A的中点D，DE⊥B于点E．（1）求证：DE为⊙的切线；（2）若DE=2，tan=，求⊙的直径．【思路分析】本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。对于此题说，自然连接D，在△AB中D就是中位线

2、，平行于B。所以利用垂直传递关系可证D⊥DE。至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。利用垂直平分关系得出△AB是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。【解析】（1）证明：联结D．∵D为A中点，为AB中点，∴D为△AB的中位线．∴D∥B．∵DE⊥B，∴∠DE=90°∴∠DE=∠DE=90°∴D⊥DE于点D∴DE为⊙的切线．（2）解：联结DB．∵AB为⊙的直径，∴∠ADB=90°．∴DB⊥A．∴∠DB=90°∵D为A中点，∴AB=A．

3、在Rt△DE中，∵DE=2，tan=，∴E=（三角函数的意义要记牢）由勾股定理得：D=在Rt△DB中，BD=．由勾股定理得：B=∴AB=B=∴⊙的直径为【例2】已知：如图，为的外接圆，为的直径，作射线，使得平分，过点作于点（1）求证：为的切线；（2）若，，求的半径【思路分析】本题是一道典型的用角证切线的题目。题目中除垂直关系给定以外，就只给了一条BA平分∠BF。看到这种条，就需要大家意识到应该通过角度证平行。用角度证平行无外乎也就内错角同位角相等，同旁内角互补这么几种。本题中，连A之后发现∠ABD

4、=∠AB，而AB构成一个等腰三角形从而∠AB=∠BA，自然想到传递这几个角之间的关系，从而得证。第二问依然是要用角的传递，将已知角∠BAD通过等量关系放在△AB中，从而达到计算直径或半径的目的。【解析】证明：连接∴∴∴∥（得分点，一定不能忘记用内错角相等证平行）∵,∴∴∵是⊙半径，∴为⊙的切线（2）∵,，，∴由勾股定理，得∴（通过三角函数的转换扩大已知条）∵是⊙直径，∴∴又∵,,∴（这一步也可以用三角形相似直接推出BD/AB=AB/A=sin∠BAD）在Rt△中，==∴的半径为【例3】已知：如图，

5、点是⊙的直径延长线上一点，点在⊙上，且（1）求证：是⊙的切线；（2）若点是劣弧上一点，与相交于点，且，，求⊙的半径长【思路分析】此题条中有A=AB=D，聪明的同学瞬间就能看出BA其实就是三角形BD中斜边D上的中线。那么根据直角三角形斜边中线等于斜边一半这一定理的逆定理，马上可以反推出∠BD=90°，于是切线问题迎刃而解。事实上如果看不出，那么连接B以后像例2那样用角度传递也是可以做的。本题第二问则稍有难度，额外考察了有关圆周角的若干性质。利用圆周角相等去证明三角形相似，从而将未知条用比例关系与已知

6、条联系起。近年中考范围压缩，圆幂定理等纲外内容已经基本不做要求，所以更多的都是利用相似三角形中借助比例计算，希望大家认真掌握。【解析】（1）证明：连接∵，∴∴是等边三角形∴∵，∴∴∴（不用斜边中线逆定理的话就这样解，麻烦一点而已）又∵点在⊙上，∴是⊙的切线（2）解：∵是⊙的直径，∴在中，,∴设则，∴∴（设元的思想很重要）∴………………………………………分【例4】如图，等腰三角形中，，．以为直径作交于点，交于点，，垂足为，交的延长线于点．（1）求证：直线是的切线；（2）求的值．【思路分析】本题和前面

7、略有不同的地方就是通过线段的具体长度计算和证明。欲证EF是切线，则需证D垂直于EF，但是本题中并未给D和其他线角之间的关系，所以就需要多做一条辅助线连接D，利用直径的圆周角是90°，并且△AB是以A,B为腰的等腰三角形，从而得出D是中点。成功转化为前面的中点问题，继而求解。第二问利用第一问的结果，转移已知角度，借助勾股定理，在相似的RT三角形当中构造代数关系，通过解方程的形式求解，也考察了考生对于解三角形的功夫。【解析】（1）证明：如图，连结，则．∴．∵，∴．∴是的中点．∵是的中点，∴．∵于F．∴

8、．∴是的切线．(2)连结，∵是直径,∴．（直径的圆周角都是90°）∴．∴．设，则．在中，．在中，．（这一步至关重要，利用两相邻RT△的临边构建等式，事实上也可以直接用直角三角形斜边高分比例的方法）∴．解得．即．在中．【例】如图，平行四边形ABD中，以A为圆心，AB为半径的圆交AD于F，交B于G，延长BA交圆于E（1）若ED与⊙A相切，试判断GD与⊙A的位置关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条不变的情况下，若G＝D＝，求AD的长【思路分析】本题虽然是圆和平行四边形的位置关系问题，