高中数学选修4-5教案一 不等式（2)——基本不等式

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1、精品基本不等式目的要求：复习与掌握基本不等式及其运用。重点难点：利用基本不等式的运用技巧。教学设计：一、引入：我们已经学习过重要不等式a²+b²≥2ab，下面将它以定理的形式给出.二、定理1如果a,b∈R,那么a²+b²≥2ab.当且仅当a=b时等号成立。让学生自己给出证明.探究：你能从几何的角度解释定理1吗？分析：a²与b²的几何意义是正方形面积，ab的几何意义是矩形面积，可考虑从图形的面积角度解释定理。aabbbAHIDKGBJCFE几何意义：如图把实数a，b作为线段长度，以a≥b为例，在正方形ABCD中，AB=

2、a；在正方形CEFG中，EF=b.则S正方形ABCD+S正方形CEFG=a²+b².，其值等于图中有阴影部分的面积，它不大于正方形ABCD与正方形CEFG的面积和。即a²+b²≥2ab.当且仅当a=b时，两个矩形成为正方形，此时有a²+b²=2ab。三、定理2：将定理1做简单变形即可得到定理2，如下：如果a,b>0，那么，当且仅当a=b时，等号成立.证明：因为所以，上式当且仅当，即a=b时，等号成立。其中为a,b的算术平均，a,b的几何平均，于是基本不等式可以表述为:CABDO两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

3、几何意义为:如图在直角三角形中，CO、CD分别是斜边上的中线和高，设AD=a，DB=b，则由图形可得到基本不等式的几何解释。精品四、.教学例题例3求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。结论：已知x,y都是正数。（1）如果积xy是定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值；（2）如果和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值例4某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图（右图）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十

4、字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角（图中四个直角三角形）上铺上草坪，造价为每平方米80元。（1）设总造价为S元，AD长为x米，试建立S关于x的函数关系式。（2）当x为何值时S最小，并求出这个最小值。五、小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时，一定要满足“一正二定三相等”的条件。.六、课后作业精品第三课时三个正数的算术—几何平均不等式目的要求：了解三个正数的算术—几何

5、平均不等式及其一般形式.重点难点：三个正数的算术—几何平均不等式及其应用。教学设计：一、引入：思考：类比基本不等式的形式，猜想对于3个正数a，b，c，可能有怎样的不等式成立？类比基本不等式的形式，猜想对于3个正数a，b，c，可能有：若，那么，当且仅当a=b=c时，等号成立．二、给出定理和的立方公式：立方和公式：定理如果，那么当且仅当a=b=c时，等号成立．（三个正数的算术平均不小于它们的几何平均）说明：（１）若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有最小值．（２）若三个正数的和是一个常数，那么

6、当且仅当这三个正数相等时，它们的积有最大值．定理推广：n个正数的算术—几何平均不等式：三、教学实例（三个正数的算术—精品几何平均不等式的一个简单变形，主要是这种变形的意识很重要）.（2）出示例6　如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边a长是多少时，才能使盒子的容积最大？解：设切去的正方形边长为x，无盖方底盒子的容积为V，则当且仅当　　，即当时，不等式取等号，此时Ｖ取最大值．即当切去的小正方形边长是原来正方形边长的时，盒子的容积最大．

7、四、小结：回顾基本不等式及三个正数的算术—几何平均不等式以及它们的限制条件，应用它们时的注意点。五、课后作业