奥数：第10讲.全等三角形中的角平分线.学生版

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1、第十讲全等三角形中的角平分线全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角

2、形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证

3、明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化例题精讲与角平分线相关的问题角平

4、分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，3．，这种对称的图形应用得也较为普遍，【例1】如图，已知的周长是，，分别平分和，于，且，求的面积．ADOCB【例2】在中，为边上的点，已知，，求证：．【例3】如图所示：，，、相交于点．求证：平分．【例4】已知中，，、分别是及平分线．求证：．【例1】(2006年北京中考题)已知中

5、，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．【例2】如图，在中，，、分别平分、，且与的交点为．求证：．【例3】如图，已知是上的一点，又，．求证：．【例4】(北京中考题)如图所示，是和的平分线，，．求证：．【例1】(“希望杯”竞赛试题)长方形ABCD中，AB=4，BC=7，∠BAD的角平分线交BC于点E，EF⊥ED交AB于F，则EF=__________．【例10】如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，．求证：∥【巩固】如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的角平分线．【例11】如图所示，AD是的角平分线，D

6、E、DF分别是的高，，则等于________．【例12】如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC，AB=6，AC=3，∠BAC=120°．求AD的长．【例10】(北京市西城区2006年抽样测试八年级(上)附加题，黄冈市数学竞赛试题)如图所示，在中，是的外角平分线，是上异于点的任意一点，试比较与的大小，并说明理由．【巩固】在中，，是的平分线．是上任意一点．求证：．　　　　【例11】如图，在中，，的平分线交与．求证：．【巩固】如图，中，，，平分交于点．求证：．【巩固】已知等腰，，的平分线交于，则．【例10】如图所示，在中，是的平分线，是的中点，且交的延长线于，

7、，求证．【例11】如图所示，在中，，为的中点，是的平分线，若且交的延长线于，求证．【巩固】如图所示，是中的外角平分线，于，是的中点，求证且．【巩固】如图所示，在中，平分，，于，求证．【例10】如图，中，，、分别为两底角的外角平分线，于，于．求证：．【巩固】已知：和分别是的和的外角平分线，，，求证：⑴；⑵．【例11】在中，、分别是三角形的外角、的角平分线，，垂足分别是、．求证：，【巩固】在中，、分别是三角形的内角、的角平分线，，垂足分别是、．求证：，【例10】在中，、分别为、边上的高，，求证：．【巩固】(北京市中考模拟题)如图，在四边形中，平分，过作，并且

8、，则等于多少？【例11】如图，，平分，平分，点在上．①探讨线段、和之间的等量关系