第1讲 计数原理(学生).doc

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1、第1讲计数原理一、知识导学1.分类计数原理：完成一件事，有ｎ类办法，在第1类办法中，有种不同的方法，在第2类办法中，有种不同的方法，……在第ｎ类办法中，有种不同的方法，那么完成这件事共有N＝＋＋……＋种不同的方法.2.分步计数原理：完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步，有种不同的方法，做第2步，有种不同的方法，……做第ｎ步，有种不同的方法，那么完成这件事共有N＝××…×种不同的方法.注：分类计数原理又称加法原理　　分步计数原理又称乘法原理二、疑难知识导析1．分类原理中分类的理解：“完成一件事，有ｎ类办法”这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时

2、，首先要根据问题的特点，确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类，其次，分类时要注意满足两条基本原则：第一，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；第二，分别属于不同类的两种方法是不同的方法.前者保证完成这件事的立法不遗漏，后者保证不重复.2．分步原理中分步的理解：“完成一件事，需要分成ｎ个步骤”这就是说完成这件事的任何一种方法，都要完成这ｎ个步骤.分步时，首先要根据问题的特点确定一个可行的分步标准，其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这ｎ个步骤，这件事才算最终完成.3．两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.如果

3、完成一件事有ｎ类办法，这ｎ类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一个都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理.如果完成一件事，需分成ｎ个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步计数原理.4．在具体解题时，常常见到某个问题中，完成某件事，既有分类，又有分步，仅用一种原理不能解决，这时需要认真分析题意，分清主次，选择其一作为主线.5．在有些问题中，还应充分注意到在完成某件事时，具体实践的可行性.例如：从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再

4、从丙地乘汽车到乙地.那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法？这个问题中，必须注意到发车时刻，所限时间，答案较多.三、经典例题导讲[例1]体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有　　　（）A．12种B．7种　　C．24种D．49种[例2]从1,2，3，…,10中选出3个不同的数，使这三个数构成等差数列，则这样的数列共有多少个？[例3]三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6，若将三张卡片并列，可得到几个不同的三位数（6不能作9用）.[例4]集合A＝｛1,2，3,4｝，集合B＝｛－1，－2｝，可建立多少个以A为

5、定义域B为值域的不同函数？[例5]用0，1,2，3,4，5这六个数字，（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3）可以组成多少个数字不重复的三位奇数？（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？（5）可以组成多少个数字不重复的大于3000，小于5421的四位数？四、典型习题导练1.从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为（）A.6B.5C.3D.22．将3封信投入4个信箱，最多的投法有(　　)A．A43种B．C43种C．43种D．34种3.右图是某汽车维修公司的维

6、修点环形分布图，公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件.在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（）A.15B.16C.17D.184．60的正约数有(　　)A．6个B．9个C．12个D．24个5．三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如635,729,868等，所有的三位凹数的个数是________．第2讲排列与组合一、知识导

7、学1.排列：一般地，从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个排列.2.全排列：ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个不同元素的全排列.3.排列数：从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有排列的个数叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的排列数.用符号表示.4.阶乘：正整数1到ｎ的连乘积，叫做ｎ的阶乘，用ｎ！表示.　　　　规定：0！＝15.组合：一般地，从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素并成一组，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个组合.6.组合数：从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元

8、素的所有组合的个数叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的组合数.用符号表示.7.本节公式　（1）排列数公式